流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水以 8 L/s 流过一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 270 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 8 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 270 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 100 kPa。水从水面以下 2.5 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 100 kPa (表压)h = 2.5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 3 m/s 的平均流速流过一根长 50 m、内径 75 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 3 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 300 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 100 L/s？

Q = 100 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 34 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 65%，驱动它的电动机效率为 95%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 25 L/sH = 34 mη_pump = 65%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 29 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 150 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 29 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 79.71 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.5 = 79.71 kN

答案

F = 79.71 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.8 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·4.5 = 97.12 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 3.375/(2.5·4.5) = 2.8 m

答案

y_cp = 2.8 m

3.连续性和伯努利

答案: p₁ = 270.5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.008/0.03142 = 0.2546 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.008/0.007854 = 1.019 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 270 + ½·1000·(1.019² − 0.2546²)/1000 = 270 + 0.4863 = 270.5 kPa

答案

p₁ = 270.5 kPa

4.连续性和伯努利

答案: v = 15.78 m/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(100000/1000 + 9.81·2.5)) = 15.78 m/s

答案

v = 15.78 m/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 4.587 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 3²/(2·9.81) = 0.4587 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(50/0.075)·3²/(2·9.81) = 4.587 m

答案

h_f = 4.587 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 1.948 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

损失系数

f·L/D = 0.015·300/0.3 = 15

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

总水头损失

h_f = 15·0.102 = 1.53 m

h_m = 4.1·0.102 = 0.4182 m

Δz = h_f + h_m = 1.948 m

答案

Δz = 1.948 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 13.5 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·34 = 8.338 kW

轴功率

P_shaft = 8.338/0.65 = 12.83 kW

电功率

P_el = 12.83/0.95 = 13.5 kW

答案

P_el = 13.5 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 53.54 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14.67 + 8)·0.408 = 9.249 m

压力水头

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 29 + 15.29 + 9.249 = 53.54 m

答案

H = 53.54 m

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