流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 130 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 130 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一根内径 50 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1.5 m，出口（通大气）低于水面 1 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 50 mmz_C = +1.5 mz₂ = −1 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.4 m/s 的平均流速流过一根长 500 m、内径 200 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.4 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 200 m、内径 100 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 15 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 15 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 24 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 60%，驱动它的电动机效率为 95%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 80 L/sH = 24 mη_pump = 60%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 20 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.025ΣK = 6

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 165.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·7.5 = 165.5 kN

答案

F = 165.5 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 3.714 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.5·6 = 259.6 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 4.5/(3.5·6) = 3.714 m

答案

y_cp = 3.714 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 111.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/50)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 130 + (−18.28) = 111.7 kPa

答案

p₂ = 111.7 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p_C = 76.78 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(4.429²/2 + 9.81·1.5)/1000 = 101.3 − 24.53 = 76.78 kPa

答案

p_C = 76.78 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 18.35 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.4²/(2·9.81) = 0.2936 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(500/0.2)·2.4²/(2·9.81) = 18.35 m

答案

h_f = 18.35 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 6.451 m

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

损失系数

f·L/D = 0.015·200/0.1 = 30

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 30 + 3.7)·0.1859 = 6.451 m

答案

H = 6.451 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 33.04 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·24 = 18.84 kW

轴功率

P_shaft = 18.84/0.6 = 31.39 kW

电功率

P_el = 31.39/0.95 = 33.04 kW

答案

P_el = 33.04 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 23.38 m

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37.5 + 6)·0.3305 = 14.38 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 9 + 14.38 = 23.38 m

答案

H = 23.38 m

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