流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 1 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 4 mH = 3 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
Q = ?d = 40 mm, Cd​ = 0.65h = 1.5 m

水从一个大型敞口水箱经直径 40 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 1.5 m，流量系数为 0.65。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 40 mmh = 1.5 mCd = 0.65g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
H = ?d1​ = 100 mmp1​ = 70 kPad2​ = 40 mm

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 100 mm，表压为 70 kPa。喷嘴出口直径为 40 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d1 = 100 mmp1 = 70 kPa (表压)d2 = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 150 L/sD = 300 mmL = 500 mf = 0.028

水以 150 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 300 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 150 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10自由出流H = ?L = 100 m, D = 250 mm, f = 0.0184× 弯头 (K = 0.3)

一根长 100 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.018）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 80 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 80 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 150 L/sH = 68 m

一台水泵以 68 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 72%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 150 L/sH = 68 mηpump = 72%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
200 kPa (表压)PQ = 80 L/sΔz = 10 mL = 200 m, D = 200 mm, f = 0.022, ΣK = 4

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 200 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 4ptank = 200 kPa
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 9.81 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
闸门d = 0.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1·1 = 9.81 kN

答案

F = 9.81 kN
2.静水压力

答案: F = 611.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
闸门d = 4 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·5.5·9 = 611.8 kN

答案

F = 611.8 kN
3.连续性和伯努利

答案: Q = 4.431 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·1.5) = 5.425 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.65·0.001257·5.425 = 0.004431 m³/s = 4.431 L/s

答案

Q = 4.431 L/s
4.连续性和伯努利

答案: H = 7.323 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 40/100 = 0.4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0.9744)) = 11.99 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v2²/(2g) = 11.99²/(2·9.81) = 7.323 m

答案

H = 7.323 m
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 10.71 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s

速度水头

V²/(2g) = 2.122²/(2·9.81) = 0.2295 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(500/0.3)·2.122²/(2·9.81) = 10.71 m

答案

hf = 10.71 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 2.694 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m

损失系数

f·L/D = 0.018·100/0.25 = 7.2
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 = 11.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 7.2 + 11.7)·0.1354 = 2.694 m

答案

H = 2.694 m
7.水泵与泵功率

答案: Pel = 151.1 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·68 = 100.1 kW

轴功率

Pshaft = 100.1/0.72 = 139 kW

电功率

Pel = 139/0.92 = 151.1 kW

答案

Pel = 151.1 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 38.98 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 4)·0.3305 = 8.593 m

压力水头

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 10 + 20.39 + 8.593 = 38.98 m

答案

H = 38.98 m

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