流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 400 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 400 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 75 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 240 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 240 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 3 L/s 的流量流过一根长 1000 m、内径 50 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 3 L/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 60 L/s？

Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 80 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 72%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 30 L/sH = 80 mη_pump = 72%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 100 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 15 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 6p_tank = 100 kPa

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 77.25 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·4.5 = 77.25 kN

答案

F = 77.25 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 3.111 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·6 = 181 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 2/(3·6) = 3.111 m

答案

y_cp = 3.111 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 387.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−12.7) = 387.3 kPa

答案

p₂ = 387.3 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 191.5 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(200/75)² = 8.889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 8.889²)/1000 = −38.72 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−38.72) − 9.81 = 191.5 kPa

答案

p₂ = 191.5 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 52.35 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²

V = Q/A = 0.003/0.001963 = 1.528 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(1000/0.05)·1.528²/(2·9.81) = 52.35 m

答案

h_f = 52.35 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.491 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

损失系数

f·L/D = 0.018·100/0.2 = 9

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

总水头损失

h_f = 9·0.1859 = 1.673 m

h_m = 4.4·0.1859 = 0.818 m

Δz = h_f + h_m = 2.491 m

答案

Δz = 2.491 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 34.79 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·80 = 23.54 kW

轴功率

P_shaft = 23.54/0.72 = 32.7 kW

电功率

P_el = 32.7/0.94 = 34.79 kW

答案

P_el = 34.79 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 22.4 m

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 6)·0.1859 = 5.205 m

压力水头

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 10.19 + 5.205 = 22.4 m

答案

H = 22.4 m

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