投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 19.5%，按季度复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 19.5%m = 4

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你以每年 5.4% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €325。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €25 000A = €3255.4% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 6%n = 6

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，分两次半年支付，12 年后到期。其售价为 €1 089。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6% (2×)n = 12P = €1 089

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €8 000 000 的普通股、价值 €500 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 13%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 4.5%。税率为 30%。求 WACC。

E = €8 000 000P_s = €500 000D = €4 000 000r_e = 13%r_p = 7.5%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €18.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 3.5%r_m = 9%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €20 000，使用 10 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €20 000M = €4 000n = 10r = 8%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €10 000，之后每年增长 3%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €10 000g = 3%n = 9r = 12%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 20.97 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.195/4 = 0.04875

复利一年

EAR = (1 + 0.04875)⁴ − 1 = 1.21 − 1 = 20.97%

答案

EAR = 20.97%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: N = 95 次还款

将年金公式变形

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.0045/325 = 0.6538

用对数求解

N = −ln(0.6538)/ln(1.004) = 94.63

向上取整到整次还款

94 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 95

答案

N = 95 次还款

3.债券定价与收益率

答案: P = 1100 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.03, N = 12

票息的现值

€40.00·(1 − 0.7014)/0.03 = €398.16

面值的现值

€1 000·0.7014 = €701.38

价格

P = €1 099.54

答案

P = €1 099.54

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.005 %

每期

C = €30.00, N = 24

数值求解

i = 2.502% 每半年

YTM

YTM = 2·2.502% = 5.005%

答案

YTM = 5.005%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.628 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 8 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €12 500 000

E/V = 0.64, P_s/V = 0.04, D/V = 0.32

WACC

WACC = 0.64·13% + 0.04·7.5% + 0.32·4.5%·(1 − 0.3) = 9.628%

答案

WACC = 9.628%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.105 %

市场价值

E = 1 000 000·€18.00 = €18 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.1·5.5% = 9.55%

权重

V = €60 000 000, E/V = 0.3, D/V = 0.7

WACC

WACC = 0.3·9.55% + 0.7·4%·(1 − 0.2) = 5.105%

答案

WACC = 5.105%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 6981 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻¹⁰)/0.08 = 6.71

年化购置价格

20 000/6.71 = 2 980.59

EAC

EAC = 2 980.59 + 4 000 = €6 980.59

答案

EAC = €6 980.59

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −41168 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.03)/(1.12))⁹ = 0.4705

PV = 10 000/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.4705) = 58 831.75

NPV

NPV = 58 831.75 − 100 000 = −€41 168.25

答案

NPV = −€41 168.25

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation