投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 3% 的利率连续复利投资 €20 000。求 16 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 3%t = 16

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0004.2% / 12N = 48

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 15 年后到期，每年付息。到期收益率为 5% 时其售价为 €896。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 15P = €896YTM = 5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 065，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 7.3 年。如果收益率上升 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 065y = 5%D = 7.3Δy = +25 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.6。其股权资本成本为 8%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 0.6r_e = 8%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €58.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 4%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 4%r_m = 9%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €30 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €9 500, €8 500, €7 500, €6 000, €10 500。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 500CF₂ = 8 500CF₃ = 7 500CF₄ = 6 000CF₅ = 10 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €22 500, €29 500, €19 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 22 500CF₂ = 29 500CF₃ = 19 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 32321 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.03·16 = 0.48

e^0.48 = 1.616

终值

FV = 20 000·1.616 = €32 321.49

答案

FV = €32 321.49

2.货币的时间价值

答案: A = 272 €

月利率和还款期数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8456

A = 12 000·0.0035/(1 − 0.8456) = €272.02

答案

A = €272.02

3.债券定价与收益率

答案: c = 3.998 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.05)⁻¹⁵ = €481.02

票息

C = (896 − 481.02)/10.38 = €39.98

票面利率

c = 39.98/1000 = 3.998%

答案

c = 3.998%

4.债券定价与收益率

答案: P = 1046 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 7.3/1.05 = 6.952

估计的价格变化

%ΔP ≈ −6.952·(0.0025) = −1.738%

P ≈ 1065·(1 − 0.01738) = €1 046.49

答案

P = €1 046.49

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.8 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625

D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375

WACC

WACC = 0.625·8% + 0.375·6%·(1 − 0.2) = 6.8%

答案

WACC = 6.8%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.475 %

市场价值

E = 4 000 000·€58.50 = €234 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.6·5% = 7%

权重

V = €273 200 000, E/V = 0.8565, D/V = 0.1435

WACC

WACC = 0.8565·7% + 0.1435·4.5%·(1 − 0.258) = 6.475%

答案

WACC = 6.475%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.938 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 9 500/1.12 = 8 482.14 → Σ = 8 482.14

年份 2: 8 500/1.254 = 6 776.15 → Σ = 15 258.29

年份 3: 7 500/1.405 = 5 338.35 → Σ = 20 596.64

年份 4: 6 000/1.574 = 3 813.11 → Σ = 24 409.75

年份 5: 10 500/1.762 = 5 957.98 → Σ = 30 367.73

最后一年的分数

DPB = 4 + 5 590.25/5 957.98 = 4.938

答案

DPB = 4.938 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.75 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 20.67 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 520.83

NPV(25%) = −3 136.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·520.83/(520.83 − (−3 136.00)) = 20.71%

精确: NPV(20.67%) = 0 → IRR = 20.67%

答案

IRR = 20.67%

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