投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €6 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €6 000g = 2%r = 5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 5 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0004.8% / 12N = 360k = 60

B = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，6 年后到期。其到期收益率从 2.5% 变为 1.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 6%n = 6y₁ = 2.5%y₂ = 1.5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 4 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 4P = €950

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €5 000 000，债务价值为 €2 000 000。其 WACC 为 8.38%，税前债务成本为 6%，税率为 28%。求股权资本成本 r_e。

E = €5 000 000D = €2 000 000WACC = 8.38%r_d = 6%T = 28%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €15 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 2 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 5%，剩余期限 11 年），每张交易价格为 €921。税率为 30%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €15 000 000r_e = 11%债券: 2 000 × €921票面利率 = 5%n = 11T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €20 000，使用 7 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €20 000M = €4 000n = 7r = 10%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €8 000, €8 500, €11 500, €9 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 500CF₃ = 11 500CF₄ = 9 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 200000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0.05 − 0.02) = 6 000/0.03 = €200 000.00

答案

PV = €200 000.00

2.货币的时间价值

答案: B = 183130 €

月供

i = 0.004, N = 360

A = 200 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻³⁶⁰) = €1 049.33

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 60 = 300

B = 1049·(1 − (1 + 0.004)⁻³⁰⁰)/0.004 = €183 130.24

答案

B = €183 130.24

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 63.59 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €60.00, i = 0.025, N = 6

€60.00·(1 − 0.8623)/0.025 + €1 000·0.8623 = €330.49 + €862.30 = €1 192.78

按新收益率计算的价格

C = €60.00, i = 0.015, N = 6

€60.00·(1 − 0.9145)/0.015 + €1 000·0.9145 = €341.83 + €914.54 = €1 256.37

变化

ΔP = 1 256.37 − 1 192.78 = €63.59

答案

ΔP = €63.59

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.493 %

收益率方程

€950 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(7%) = €966.13, P(8%) = €933.76

YTM = 7.493%

答案

YTM = 7.493%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 10 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC 中的债务部分

0.2857·6%·(1 − 0.28) = 1.234%

股权成本

r_e = (8.38% − 1.234%)/0.7143 = 10%

答案

r_e = 10%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.26 %

债务成本 (YTM)

921 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 6.002%

市场价值

D = 2 000·€921 = €1 842 000

V = €16 842 000, E/V = 0.8906, D/V = 0.1094

WACC

WACC = 0.8906·11% + 0.1094·6.002%·(1 − 0.3) = 10.26%

答案

WACC = 10.26%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 8108 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1⁻⁷)/0.1 = 4.868

年化购置价格

20 000/4.868 = 4 108.11

EAC

EAC = 4 108.11 + 4 000 = €8 108.11

答案

EAC = €8 108.11

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 19.12 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

8 000·1.06³ = 9 528.13

8 500·1.06² = 9 550.60

11 500·1.06¹ = 12 190.00

9 000·1.06⁰ = 9 000.00

TV = 40 268.73

MIRR

MIRR = (40 268.73/20 000)^1/4 − 1 = 19.12%

答案

MIRR = 19.12%

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