投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €12 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1.5%。要求回报率为每年 3.5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €12 000g = 1.5%r = 3.5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 7 年内每月月末存入 €300。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3005.4% / 12N = 84

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 14 年后到期，每年付息。到期收益率为 5% 时其售价为 €901。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 14P = €901YTM = 5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 4%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 4YTM = 4%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €10 000 000，债务价值为 €3 000 000。其 WACC 为 7.73%，税前债务成本为 5%，税率为 30%。求股权资本成本 r_e。

E = €10 000 000D = €3 000 000WACC = 7.73%r_d = 5%T = 30%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €32.50；其股权账面价值为 €19 500 000。公司刚支付了每股 €1.00 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €19 500 000，税前成本为 3%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 1 000 000P₀ = €32.50股权账面价值 = €19 500 000D₀ = €1.00g = 4%D = €19 500 000r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €30 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €7 000, €12 500, €10 500, €10 500。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 12 500CF₃ = 10 500CF₄ = 10 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €11 500, €14 500, €12 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 14 500CF₃ = 12 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 600000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0.035 − 0.015) = 12 000/0.02 = €600 000.00

答案

PV = €600 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 30542 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·7 = 84

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.458 − 1)/0.0045 = €30 541.73

答案

FV = €30 541.73

你自己存入了 €25 200；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: c = 4 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.05)⁻¹⁴ = €505.07

票息

C = (901 − 505.07)/9.899 = €40.00

票面利率

c = 40/1000 = 4%

答案

c = 4%

4.债券定价与收益率

答案: D = 3.751 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 45/1.04 = 43.27, t·PV = 43.27

t = 2: 45/1.082 = 41.61, t·PV = 83.21

t = 3: 45/1.125 = 40.00, t·PV = 120.01

t = 4: 1045/1.17 = 893.27, t·PV = 3 573.08

久期

P = 1 018.15

D = 3 819.58/1 018.15 = 3.751

答案

D = 3.751 年

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.999 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €13 000 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC 中的债务部分

0.2308·5%·(1 − 0.3) = 0.8077%

股权成本

r_e = (7.73% − 0.8077%)/0.7692 = 8.999%

答案

r_e = 8.999%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.335 %

股权成本

D₁ = 1·1.04 = €1.04

r_e = 1.04/32.5 + 0.04 = 7.2%

市场价值

E = 1 000 000·€32.50 = €32 500 000

V = €52 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·7.2% + 0.375·3%·(1 − 0.258) = 5.335%

答案

WACC = 5.335%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.579 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 7 000/1.08 = 6 481.48 → Σ = 6 481.48

年份 2: 12 500/1.166 = 10 716.74 → Σ = 17 198.22

年份 3: 10 500/1.26 = 8 335.24 → Σ = 25 533.46

年份 4: 10 500/1.36 = 7 717.81 → Σ = 33 251.27

最后一年的分数

DPB = 3 + 4 466.54/7 717.81 = 3.579

答案

DPB = 3.579 年

折现回收期总是长于简单回收期（3 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 24 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 1 597.22

NPV(25%) = −376.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·1 597.22/(1 597.22 − (−376.00)) = 24.05%

精确: NPV(24%) = 0 → IRR = 24%

答案

IRR = 24%

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