投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
年01234PV = ?€5 000

你在 4 年后需要 €5 000。某账户年利率 6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0006% / 4n = 4
PV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…300€150 000AAAA6% / 12, I = ?

一笔 €150 000 的贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €150 0006% / 12N = 300
I = €
3.债券定价与收益率中等
年0123…13P€45€45€45 + €1 000

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，13 年后到期。其到期收益率从 3.5% 变为 5.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 13y1 = 3.5%y2 = 5.5%
ΔP = €
4.债券定价与收益率困难
年012345€940€80€80 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 5 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 5P = €940
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = 11.88%所有者权益€10 000 000re​ = ?债务€3 000 000rd​ = 6%T = 20%

一家公司的股权价值为 €10 000 000，债务价值为 €3 000 000。其 WACC 为 11.88%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求股权资本成本 re。

E = €10 000 000D = €3 000 000WACC = 11.88%rd = 6%T = 20%
re = %
6.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益1 000 000 × €29.00β = 0.6rf​ = 1%, rm​ = 8%债务10 000 × €980rd​ = 5%T = 25%

某公司有1 000 000 股、每股 €29.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 1%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 0.6rf = 1%rm = 8%rd = 5%T = 25%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
年0123…9€40 000€1 000€1 000€1 000€1 000r = 12%, EAC = ?

一台机器今天花费 €40 000，使用 9 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 12%。求其等值年成本 EAC。

C0 = €40 000M = €1 000n = 9r = 12%
EAC = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123−10 0005 0005 5006 000

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 000, €5 500, €6 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 5 500CF3 = 6 000
IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 3940 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/4 = 0.015
N = 4·4 = 16

现值

PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1.269 = €3 940.16

答案

PV = €3 940.16
2.货币的时间价值

答案: I = 139936 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.005, N = 300
A = 150 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−300) = €966.45

利息总额

I = N·A − P = 300·966.5 − 150 000 = €139 935.63

答案

I = €139 935.63
3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −194.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.035, N = 13
€45.00·(1 − 0.6394)/0.035 + €1 000·0.6394 = €463.62 + €639.40 = €1 103.03

按新收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.055, N = 13
€45.00·(1 − 0.4986)/0.055 + €1 000·0.4986 = €410.27 + €498.56 = €908.83

变化

ΔP = 908.83 − 1 103.03 = −€194.20

答案

ΔP = −€194.20
4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.565 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(9%) = €961.10, P(10%) = €924.18
YTM = 9.565%

答案

YTM = 9.565%
5.CAPM 与 WACC

答案: re = 14 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €13 000 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC 中的债务部分

0.2308·6%·(1 − 0.2) = 1.108%

股权成本

re = (11.88% − 1.108%)/0.7692 = 14%

答案

re = 14%
6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.834 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场价值

E = 1 000 000·€29.00 = €29 000 000
D = 10 000·€980 = €9 800 000

股权成本（CAPM）

re = 1% + 0.6·7% = 5.2%

权重

V = €38 800 000, E/V = 0.7474, D/V = 0.2526

WACC

WACC = 0.7474·5.2% + 0.2526·5%·(1 − 0.25) = 4.834%

答案

WACC = 4.834%
7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 8507 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.12−9)/0.12 = 5.328

年化购置价格

40 000/5.328 = 7 507.16

EAC

EAC = 7 507.16 + 1 000 = €8 507.16

答案

EAC = €8 507.16
8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 28.84 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 592.00
NPV(30%) = −168.41

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·592.00/(592.00 − (−168.41)) = 28.89%
精确: NPV(28.84%) = 0 → IRR = 28.84%

答案

IRR = 28.84%

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