投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €50 000。某账户年利率 3.6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0003.6% / 4n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 4 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0004.8% / 12N = 240k = 48

B = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，4 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 5.5%n = 4

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 5.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 4YTM = 5.5%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €5 000 000，债务价值为 €2 000 000。其 WACC 为 7.33%，税前债务成本为 4.5%，税率为 30%。求股权资本成本 r_e。

E = €5 000 000D = €2 000 000WACC = 7.33%r_d = 4.5%T = 30%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 5 000 000 股股票，股价为 €27.50；其股权账面价值为 €68 800 000。公司刚支付了每股 €2.20 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €137 500 000，税前成本为 4%。税率为 20%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 5 000 000P₀ = €27.50股权账面价值 = €68 800 000D₀ = €2.20g = 5%D = €137 500 000r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €30 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €10 500, €12 500, €12 500, €10 000。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 500CF₂ = 12 500CF₃ = 12 500CF₄ = 10 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €50 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €21 000, €16 500, €26 000, €26 000。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 21 000CF₂ = 16 500CF₃ = 26 000CF₄ = 26 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 38906 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = 4·7 = 28

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.285 = €38 906.07

答案

PV = €38 906.07

2.货币的时间价值

答案: B = 173709 €

月供

i = 0.004, N = 240

A = 200 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻²⁴⁰) = €1 297.91

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 48 = 192

B = 1298·(1 − (1 + 0.004)⁻¹⁹²)/0.004 = €173 709.27

答案

B = €173 709.27

3.债券定价与收益率

答案: P = 946.8 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.0275, N = 8

票息的现值

€20.00·(1 − 0.8049)/0.0275 = €141.89

面值的现值

€1 000·0.8049 = €804.91

价格

P = €946.79

答案

P = €946.79

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: D = 3.875 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 20/1.055 = 18.96, t·PV = 18.96

t = 2: 20/1.113 = 17.97, t·PV = 35.94

t = 3: 20/1.174 = 17.03, t·PV = 51.10

t = 4: 1020/1.239 = 823.36, t·PV = 3 293.44

久期

P = 877.32

D = 3 399.44/877.32 = 3.875

答案

D = 3.875 年

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.002 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC 中的债务部分

0.2857·4.5%·(1 − 0.3) = 0.9%

股权成本

r_e = (7.33% − 0.9%)/0.7143 = 9.002%

答案

r_e = 9.002%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.3 %

股权成本

D₁ = 2.2·1.05 = €2.31

r_e = 2.31/27.5 + 0.05 = 13.4%

市场价值

E = 5 000 000·€27.50 = €137 500 000

V = €275 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·13.4% + 0.5·4%·(1 − 0.2) = 8.3%

答案

WACC = 8.3%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 2.855 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 10 500/1.06 = 9 905.66 → Σ = 9 905.66

年份 2: 12 500/1.124 = 11 124.96 → Σ = 21 030.62

年份 3: 12 500/1.191 = 10 495.24 → Σ = 31 525.86

最后一年的分数

DPB = 2 + 8 969.38/10 495.24 = 2.855

答案

DPB = 2.855 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.56 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 19.66 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

21 000·1.1³ = 27 951.00

16 500·1.1² = 19 965.00

26 000·1.1¹ = 28 600.00

26 000·1.1⁰ = 26 000.00

TV = 102 516.00

MIRR

MIRR = (102 516.00/50 000)^1/4 − 1 = 19.66%

答案

MIRR = 19.66%

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