投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 9 年后需要 €5 000。某账户年利率 4.8%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0004.8% / 4n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €6 000，共 15 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 15 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €6 000i = 3%n = 15

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 4%n = 12

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 7 年后到期，售价为 €920。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 7P = €920

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.25 的股票要求回报为 8.5%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.25r_e = 8.5%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.5。公司计划把负债权益比提高到 1。税率为 30%，无风险利率为 3.5%，市场风险溢价为 7%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.5D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1T = 30%r_f = 3.5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €50 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €18 000, €14 000, €18 000, €10 000, €19 000。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 18 000CF₂ = 14 000CF₃ = 18 000CF₄ = 10 000CF₅ = 19 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €26 000, €19 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 26 000CF₂ = 19 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 3254 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·9 = 36

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.536 = €3 254.40

答案

PV = €3 254.40

2.货币的时间价值

答案: FV = 114941 €

普通年金系数

((1 + 0.03)¹⁵ − 1)/0.03 = 18.6

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 6 000·18.6·1.03 = €114 941.29

答案

FV = €114 941.29

3.债券定价与收益率

答案: P = 905.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.02, N = 24

票息的现值

€15.00·(1 − 0.6217)/0.02 = €283.71

面值的现值

€1 000·0.6217 = €621.72

价格

P = €905.43

答案

P = €905.43

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.456 %

收益率方程

€920 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(6%) = €944.18, P(7%) = €892.21

YTM = 6.456%

答案

YTM = 6.456%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (8.5% − 1%)/1.25 = 6%

市场回报

r_m = 1% + 6% = 7%

答案

r_m = 7%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 17.45 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.5/(1 + 0.7·0.4) = 1.172

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.172·(1 + 0.7·1) = 1.992

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.992·7% = 17.45%

答案

r_e = 17.45%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.334 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 18 000/1.12 = 16 071.43 → Σ = 16 071.43

年份 2: 14 000/1.254 = 11 160.71 → Σ = 27 232.14

年份 3: 18 000/1.405 = 12 812.04 → Σ = 40 044.19

年份 4: 10 000/1.574 = 6 355.18 → Σ = 46 399.37

年份 5: 19 000/1.762 = 10 781.11 → Σ = 57 180.48

最后一年的分数

DPB = 4 + 3 600.63/10 781.11 = 4.334

答案

DPB = 4.334 年

折现回收期总是长于简单回收期（3 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 9.515 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 2 448.98

NPV(10%) = −247.93

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·2 448.98/(2 448.98 − (−247.93)) = 9.54%

精确: NPV(9.515%) = 0 → IRR = 9.515%

答案

IRR = 9.515%

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