投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €1 500，共 17 年。年利率为 6%。求该年金的现值 PV。

A = €1 500i = 6%n = 17

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 2.4%，按月复利。在第 9 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0002.4% / 12N = 240k = 108

B = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 8%n = 12

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 4 年后到期，售价为 €1 060。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 4P = €1 060

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €4 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 9.52%，税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。求股权资本成本 r_e。

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 9.52%r_d = 4.5%T = 20%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €27.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 4%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 4%r_m = 10%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000，使用 5 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €40 000M = €3 000n = 5r = 8%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €22 000, €16 000, €9 500。项目 B 需投入 €50 000，回报为 €14 000, €19 500, €28 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −40 000, 22 000, 16 000, 9 500B: −50 000, 14 000, 19 500, 28 000

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 15716 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3714)/0.06 = 10.48

现值

PV = 1 500·10.48 = €15 715.89

答案

PV = €15 715.89

2.货币的时间价值

答案: B = 152147 €

月供

i = 0.002, N = 240

A = 250 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)⁻²⁴⁰) = €1 312.61

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 108 = 132

B = 1313·(1 − (1 + 0.002)⁻¹³²)/0.002 = €152 147.44

答案

B = €152 147.44

3.债券定价与收益率

答案: P = 923.8 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.04, N = 24

票息的现值

€35.00·(1 − 0.3901)/0.04 = €533.64

面值的现值

€1 000·0.3901 = €390.12

价格

P = €923.77

答案

P = €923.77

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 1.445 %

收益率方程

€1 060 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(1%) = €1 078.04, P(2%) = €1 038.08

YTM = 1.445%

答案

YTM = 1.445%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC 中的债务部分

0.2·4.5%·(1 − 0.2) = 0.72%

股权成本

r_e = (9.52% − 0.72%)/0.8 = 11%

答案

r_e = 11%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.499 %

市场价值

E = 4 000 000·€27.50 = €110 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.8·6% = 8.8%

权重

V = €120 000 000, E/V = 0.9167, D/V = 0.08333

WACC

WACC = 0.9167·8.8% + 0.08333·7%·(1 − 0.258) = 8.499%

答案

WACC = 8.499%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 13018 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁵)/0.08 = 3.993

年化购置价格

40 000/3.993 = 10 018.26

EAC

EAC = 10 018.26 + 3 000 = €13 018.26

答案

EAC = €13 018.26

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 8.717 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −50 000 − (−40 000) = −10 000

ΔCF₁ = 14 000 − 22 000 = −8 000

ΔCF₂ = 19 500 − 16 000 = 3 500

ΔCF₃ = 28 000 − 9 500 = 18 500

差额的 IRR

NPV_Δ(8%) = 279.17

NPV_Δ(9%) = −108.18

r* = 8.717%

答案

r* = 8.717%

校核：在 8.717% 时两个 NPV 都是 €1 166.41。

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