投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123€5 000FV = ?

你以名义年利率 4.8% 投资 €5 000，按季度复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0004.8% / 4n = 3
FV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…36€25 000AAAA3% / 12, I = ?

一笔 €25 000 的贷款在 3 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €25 0003% / 12N = 36
I = €
3.债券定价与收益率中等
年0123…14P€80€80€80 + €1 000

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，14 年后到期。其到期收益率从 3.5% 变为 5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 8%n = 14y1 = 3.5%y2 = 5%
ΔP = €
4.债券定价与收益率困难
年01234567€875€70€70 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 7 年后到期，售价为 €875。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 7P = €875
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?普通股€6 000 000re​ = 11%优先股€1 000 000rp​ = 6%债务€2 000 000rd​ = 3%T = 25.8%

一家公司的融资由价值 €6 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €2 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 3%。税率为 25.8%。求 WACC。

E = €6 000 000Ps = €1 000 000D = €2 000 000re = 11%rp = 6%rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益4 000 000 × €19.00β = 1.2rf​ = 3.5%, rm​ = 9%债务5 000 × €980rd​ = 5%T = 30%

某公司有4 000 000 股、每股 €19.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.2rf = 3.5%rm = 9%rd = 5%T = 30%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
年01234−20 0009 00010 0008 0008 000

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€9 000, €10 000, €8 000, €8 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 10 000CF3 = 8 000CF4 = 8 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123−10 0004 0006 5004 500

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 000, €6 500, €4 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 6 500CF3 = 4 500
IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 5769 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012
N = m·n = 4·3 = 12

终值

FV = 5 000·(1 + 0.012)12 = 5 000·1.154 = €5 769.47

答案

FV = €5 769.47
2.货币的时间价值

答案: I = 1173 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.0025, N = 36
A = 25 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−36) = €727.03

利息总额

I = N·A − P = 36·727 − 25 000 = €1 173.09

答案

I = €1 173.09
3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −194.5 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.035, N = 14
€80.00·(1 − 0.6178)/0.035 + €1 000·0.6178 = €873.64 + €617.78 = €1 491.42

按新收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.05, N = 14
€80.00·(1 − 0.5051)/0.05 + €1 000·0.5051 = €791.89 + €505.07 = €1 296.96

变化

ΔP = 1 296.96 − 1 491.42 = −€194.46

答案

ΔP = −€194.46
4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.528 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€875 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(9%) = €899.34, P(10%) = €853.95
YTM = 9.528%

答案

YTM = 9.528%
5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.495 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 6 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €9 000 000
E/V = 0.6667, Ps/V = 0.1111, D/V = 0.2222

WACC

WACC = 0.6667·11% + 0.1111·6% + 0.2222·3%·(1 − 0.258) = 8.495%

答案

WACC = 8.495%
6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.7 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场价值

E = 4 000 000·€19.00 = €76 000 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

re = 3.5% + 1.2·5.5% = 10.1%

权重

V = €80 900 000, E/V = 0.9394, D/V = 0.06057

WACC

WACC = 0.9394·10.1% + 0.06057·5%·(1 − 0.3) = 9.7%

答案

WACC = 9.7%
7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 10444 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 9 000/1.06 = 8 490.57
CF2/(1 + 0.06)2 = 10 000/1.124 = 8 899.96
CF3/(1 + 0.06)3 = 8 000/1.191 = 6 716.95
CF4/(1 + 0.06)4 = 8 000/1.262 = 6 336.75

相加

NPV = €10 444.23

答案

NPV = €10 444.23

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.79 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 451.39
NPV(25%) = −336.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·451.39/(451.39 − (−336.00)) = 22.87%
精确: NPV(22.79%) = 0 → IRR = 22.79%

答案

IRR = 22.79%

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