投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €5 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0003.6% / 12n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 5 年内每月月末存入 €250。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2502.4% / 12N = 60

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 7 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 3% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 2.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 7y₀ = 3%y₁ = 2.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €940，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 5.4 年。如果收益率上升 150 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €940y = 5%D = 5.4Δy = +150 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €27.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 1%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 1%r_m = 6.5%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000。它在 4 年内每年年末产生 €11 500，之后可以以 €8 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €40 000CF = €11 500S = €8 000n = 4r = 12%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €8 500, €13 500, €7 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 13 500CF₃ = 7 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 6666 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·8 = 96

终值

FV = 5 000·(1 + 0.003)⁹⁶ = 5 000·1.333 = €6 665.91

答案

FV = €6 665.91

2.货币的时间价值

答案: FV = 15920 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·5 = 60

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.127 − 1)/0.002 = €15 920.22

答案

FV = €15 920.22

你自己存入了 €15 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 5.643 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.03, N = 7

€45.00·(1 − 0.8131)/0.03 + €1 000·0.8131 = €280.36 + €813.09 = €1 093.45

卖出价

C = €45.00, i = 0.025, N = 6

€45.00·(1 − 0.8623)/0.025 + €1 000·0.8623 = €247.87 + €862.30 = €1 110.16

持有期收益率

HPR = (45 + 1 110.16 − 1 093.45)/1 093.45 = 5.643%

答案

HPR = 5.643%

4.债券定价与收益率

答案: P = 867.5 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 5.4/1.05 = 5.143

估计的价格变化

%ΔP ≈ −5.143·(0.015) = −7.714%

P ≈ 940·(1 − 0.07714) = €867.49

答案

P = €867.49

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.43 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667

WACC

WACC = 0.8333·12% + 0.1667·3.5%·(1 − 0.258) = 10.43%

答案

WACC = 10.43%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.708 %

市场价值

E = 2 000 000·€27.00 = €54 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.8·5.5% = 10.9%

权重

V = €63 600 000, E/V = 0.8491, D/V = 0.1509

WACC

WACC = 0.8491·10.9% + 0.1509·4%·(1 − 0.25) = 9.708%

答案

WACC = 9.708%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 13.66 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

11 500·3.037 = 34 929.52

残值的现值

8 000/1.574 = 5 084.14

NPV

NPV = −40 000 + 34 929.52 + 5 084.14 = €13.66

答案

NPV = €13.66

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.55 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 798.61

NPV(25%) = −720.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·798.61/(798.61 − (−720.00)) = 22.63%

精确: NPV(22.55%) = 0 → IRR = 22.55%

答案

IRR = 22.55%

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