投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €5 000，按季度复利。求 10 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0004.8% / 4n = 10

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 14 年后得到 €10 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 2.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €10 0002.4% / 12N = 168

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 11 年后到期，每年付息。到期收益率为 4% 时其售价为 €1 175。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 11P = €1 175YTM = 4%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 129。发行人可在 6 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 129赎回价格 = €1 070赎回时间 6 年

YTC = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 4.5%，税率为 21%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 5 000 000 股股票，股价为 €41.00；其股权账面价值为 €82 000 000。公司刚支付了每股 €2.80 的股利，股利每年增长 2%。其债务市场价值为 €123 000 000，税前成本为 4%。税率为 21%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 5 000 000P₀ = €41.00股权账面价值 = €82 000 000D₀ = €2.80g = 2%D = €123 000 000r_d = 4%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€5 000, €6 000, €9 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 9 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €25 000，之后每年增长 4%，直到第 8 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €25 000g = 4%n = 8r = 10%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 8057 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·10 = 40

终值

FV = 5 000·(1 + 0.012)⁴⁰ = 5 000·1.611 = €8 057.32

答案

FV = €8 057.32

2.货币的时间价值

答案: A = 50.14 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·14 = 168

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0.002/(1.399 − 1) = €50.14

答案

A = €50.14

3.债券定价与收益率

答案: c = 5.998 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.04)⁻¹¹ = €649.58

票息

C = (1175 − 649.58)/8.76 = €59.98

票面利率

c = 59.98/1000 = 5.998%

答案

c = 5.998%

4.债券定价与收益率

答案: YTC = 5.44 %

收益率方程

1129 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1070/(1 + y)⁶

数值求解

y = 5%: €1 153.75

y = 6%: €1 098.52

YTC = 5.44%

答案

YTC = 5.44%

到期收益率为 5.503%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.11 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·13% + 0.2·4.5%·(1 − 0.21) = 11.11%

答案

WACC = 11.11%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.789 %

股权成本

D₁ = 2.8·1.02 = €2.86

r_e = 2.856/41 + 0.02 = 8.966%

市场价值

E = 5 000 000·€41.00 = €205 000 000

V = €328 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·8.966% + 0.375·4%·(1 − 0.21) = 6.789%

答案

WACC = 6.789%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −4347 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 5 000/1.12 = 4 464.29

CF₂/(1 + 0.12)² = 6 000/1.254 = 4 783.16

CF₃/(1 + 0.12)³ = 9 000/1.405 = 6 406.02

相加

NPV = €−4 346.53

答案

NPV = €−4 346.53

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −49353 €

增长型年金的现值

((1.04)/(1.1))⁸ = 0.6384

PV = 25 000/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.6384) = 150 646.85

NPV

NPV = 150 646.85 − 200 000 = −€49 353.15

答案

NPV = −€49 353.15

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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