投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €5 000，共 15 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。

A = €5 000i = 8%n = 15

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0005.4% / 12N = 300

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 2.5%n = 6

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 7 年后到期，售价为 €890。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 7P = €890

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1。其股权资本成本为 10%，税前债务成本为 4%，税率为 25.8%。求 WACC。

D/E = 1r_e = 10%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1.2。它计划采用 0.75 的负债权益比。税率为 20%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 6%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1.2D/E = 0.75T = 20%r_f = 3%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€15 000, €15 000, €30 000, €16 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 15 000CF₃ = 30 000CF₄ = 16 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €21 000, €33 000, €32 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 21 000CF₂ = 33 000CF₃ = 32 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 42797 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3152)/0.08 = 8.559

现值

PV = 5 000·8.559 = €42 797.39

答案

PV = €42 797.39

2.货币的时间价值

答案: A = 1216 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.26

A = 200 000·0.0045/(1 − 0.26) = €1 216.26

答案

A = €1 216.26

3.债券定价与收益率

答案: P = 1249 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.0125, N = 12

票息的现值

€35.00·(1 − 0.8615)/0.0125 = €387.78

面值的现值

€1 000·0.8615 = €861.51

价格

P = €1 249.28

答案

P = €1 249.28

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.044 %

收益率方程

€890 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(7%) = €892.21, P(8%) = €843.81

YTM = 7.044%

答案

YTM = 7.044%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.484 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·10% + 0.5·4%·(1 − 0.258) = 6.484%

答案

WACC = 6.484%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14.52 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1.2·(1 + 0.8·0.75) = 1.92

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.92·6% = 14.52%

答案

r_e = 14.52%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3816 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 15 000/1.07 = 14 018.69

CF₂/(1 + 0.07)² = 15 000/1.145 = 13 101.58

CF₃/(1 + 0.07)³ = 30 000/1.225 = 24 488.94

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 16 000/1.311 = 12 206.32

相加

NPV = €3 815.53

答案

NPV = €3 815.53

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 30.32 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 245.79

NPV(35%) = −3 331.30

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·245.79/(245.79 − (−3 331.30)) = 30.34%

精确: NPV(30.32%) = 0 → IRR = 30.32%

答案

IRR = 30.32%

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