投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 8% 的利率连续复利投资 €20 000。求 11 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 8%t = 11

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 12 年内每月月末存入 €200。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2007.2% / 12N = 144

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 5.5%n = 8

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 3 年后到期，售价为 €960。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 3P = €960

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.6。它计划采用 0.5 的负债权益比。税率为 21%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.6D/E = 0.5T = 21%r_f = 1%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€33 000, €27 000, €24 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 33 000CF₂ = 27 000CF₃ = 24 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €15 000, €11 000, €8 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 11 000CF₃ = 8 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 48218 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.08·11 = 0.88

e^0.88 = 2.411

终值

FV = 20 000·2.411 = €48 217.99

答案

FV = €48 217.99

2.货币的时间价值

答案: FV = 45550 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·12 = 144

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2.367 − 1)/0.006 = €45 550.49

答案

FV = €45 550.49

你自己存入了 €28 800；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 775.9 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.0275, N = 16

票息的现值

€10.00·(1 − 0.6479)/0.0275 = €128.05

面值的现值

€1 000·0.6479 = €647.87

价格

P = €775.92

答案

P = €775.92

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.454 %

收益率方程

€960 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(4%) = €972.25, P(5%) = €945.54

YTM = 4.454%

答案

YTM = 4.454%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.036 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143

WACC

WACC = 0.2857·8% + 0.7143·3.5%·(1 − 0.3) = 4.036%

答案

WACC = 4.036%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 5.185 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.6·(1 + 0.79·0.5) = 0.837

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 0.837·5% = 5.185%

答案

r_e = 5.185%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −3467 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 33 000/1.09 = 30 275.23

CF₂/(1 + 0.09)² = 27 000/1.188 = 22 725.36

CF₃/(1 + 0.09)³ = 24 000/1.295 = 18 532.40

相加

NPV = €−3 467.01

答案

NPV = €−3 467.01

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 13.46 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

15 000·1.06² = 16 854.00

11 000·1.06¹ = 11 660.00

8 000·1.06⁰ = 8 000.00

TV = 36 514.00

MIRR

MIRR = (36 514.00/25 000)^1/3 − 1 = 13.46%

答案

MIRR = 13.46%

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