投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 2 年后需要 €25 000。某账户年利率 6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €25 0006% / 4n = 2

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0002.4% / 12N = 300

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，12 年后到期。其到期收益率从 5.5% 变为 7%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4%n = 12y₁ = 5.5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 6 年后到期，售价为 €925。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 6P = €925

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3.5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €17.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2%r_m = 7%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€5 000, €5 000, €7 000, €7 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 5 000CF₃ = 7 000CF₄ = 7 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €6 000, €5 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 22193 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/4 = 0.015

N = 4·2 = 8

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.126 = €22 192.78

答案

PV = €22 192.78

2.货币的时间价值

答案: A = 887.2 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.5491

A = 200 000·0.002/(1 − 0.5491) = €887.19

答案

A = €887.19

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −109 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.055, N = 12

€40.00·(1 − 0.526)/0.055 + €1 000·0.526 = €344.74 + €525.98 = €870.72

按新收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.07, N = 12

€40.00·(1 − 0.444)/0.07 + €1 000·0.444 = €317.71 + €444.01 = €761.72

变化

ΔP = 761.72 − 870.72 = −€109.00

答案

ΔP = −€109.00

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.552 %

收益率方程

€925 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(6%) = €950.83, P(7%) = €904.67

YTM = 6.552%

答案

YTM = 6.552%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.6 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €15 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·10% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.2) = 7.6%

答案

WACC = 7.6%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.568 %

市场价值

E = 5 000 000·€17.50 = €87 500 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 0.8·5% = 6%

权重

V = €106 700 000, E/V = 0.8201, D/V = 0.1799

WACC

WACC = 0.8201·6% + 0.1799·5%·(1 − 0.28) = 5.568%

答案

WACC = 5.568%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −3267 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 5 000/1.15 = 4 347.83

CF₂/(1 + 0.15)² = 5 000/1.322 = 3 780.72

CF₃/(1 + 0.15)³ = 7 000/1.521 = 4 602.61

CF₄/(1 + 0.15)⁴ = 7 000/1.749 = 4 002.27

相加

NPV = €−3 266.57

答案

NPV = €−3 266.57

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 10 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 702.95

NPV(10%) = −0.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·702.95/(702.95 − (−0.00)) = 10%

精确: NPV(10%) = 0 → IRR = 10%

答案

IRR = 10%

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