投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123…8€1 000FV = ?

你以名义年利率 3% 投资 €1 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0003% / 12n = 8
FV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…180€200 000AAAA4.2% / 12, I = ?

一笔 €200 000 的贷款在 15 年内按月等额偿还，年利率 4.2%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €200 0004.2% / 12N = 180
I = €
3.债券定价与收益率中等
半年0123…20€10€10€10 + €1 000P = ?

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 6%。 求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 6%n = 10
P = €
4.债券定价与收益率困难
年0123…8€850€40€40 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 8 年后到期，售价为 €850。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 8P = €850
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?普通股€5 000 000re​ = 12%优先股€1 000 000rp​ = 8%债务€4 000 000rd​ = 4%T = 25%

一家公司的融资由价值 €5 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 12%，优先股成本为 8%，税前债务成本为 4%。税率为 25%。求 WACC。

E = €5 000 000Ps = €1 000 000D = €4 000 000re = 12%rp = 8%rd = 4%T = 25%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
rf​ = 1%, rm​ − rf​ = 6%D/E = 0.2所有者权益βL​ = 1.3债务D/E = 1所有者权益re​ = ?债务T = 20%

一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1.3。公司计划把负债权益比提高到 1。税率为 20%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 6%。求变化后的股权资本成本 re。

βL = 1.3D/E1 = 0.2D/E2 = 1T = 20%rf = 1%rm − rf = 6%
re = %
7.NPV 与 IRR中等
年01234−20 0008 0006 0008 0008 000

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€8 000, €6 000, €8 000, €8 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 6 000CF3 = 8 000CF4 = 8 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123…8−150 00019 000+4%+4%+4%r = 10%, NPV = ?

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €19 000，之后每年增长 4%，直到第 8 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C0 = €150 000CF1 = €19 000g = 4%n = 8r = 10%
NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1271 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025
N = m·n = 12·8 = 96

终值

FV = 1 000·(1 + 0.0025)96 = 1 000·1.271 = €1 270.87

答案

FV = €1 270.87
2.货币的时间价值

答案: I = 69910 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.0035, N = 180
A = 200 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)−180) = €1 499.50

利息总额

I = N·A − P = 180·1500 − 200 000 = €69 910.12

答案

I = €69 910.12
3.债券定价与收益率

答案: P = 702.5 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.03, N = 20

票息的现值

€10.00·(1 − 0.5537)/0.03 = €148.77

面值的现值

€1 000·0.5537 = €553.68

价格

P = €702.45

答案

P = €702.45

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.46 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€850 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(6%) = €875.80, P(7%) = €820.86
YTM = 6.46%

答案

YTM = 6.46%
5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €10 000 000
E/V = 0.5, Ps/V = 0.1, D/V = 0.4

WACC

WACC = 0.5·12% + 0.1·8% + 0.4·4%·(1 − 0.25) = 8%

答案

WACC = 8%
6.CAPM 与 WACC

答案: re = 13.1 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

βU = 1.3/(1 + 0.8·0.2) = 1.121

按新的 D/E 重新加杠杆

βL = 1.121·(1 + 0.8·1) = 2.017

股权成本（CAPM）

re = 1% + 2.017·6% = 13.1%

答案

re = 13.1%
7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2704 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 8 000/1.12 = 7 142.86
CF2/(1 + 0.12)2 = 6 000/1.254 = 4 783.16
CF3/(1 + 0.12)3 = 8 000/1.405 = 5 694.24
CF4/(1 + 0.12)4 = 8 000/1.574 = 5 084.14

相加

NPV = €2 704.41

答案

NPV = €2 704.41

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −35508 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.1))8 = 0.6384
PV = 19 000/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.6384) = 114 491.61

NPV

NPV = 114 491.61 − 150 000 = −€35 508.39

答案

NPV = −€35 508.39

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation