投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 5% 的利率连续复利投资 €2 000。求 6 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 5%t = 6

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €15 000 的贷款在 4 年内按月等额偿还，年利率 4.2%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €15 0004.2% / 12N = 48

I = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 14 年后到期，每年付息。到期收益率为 5.5% 时其售价为 €1 144。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 14P = €1 144YTM = 5.5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €955，到期收益率为 7%（按年复利），麦考利久期为 8.8 年。如果收益率上升 50 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €955y = 7%D = 8.8Δy = +50 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 8%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €45.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 2.5%r_m = 9%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000，使用 6 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 12%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €40 000M = €4 000n = 6r = 12%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €15 500, €29 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 15 500CF₂ = 29 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2700 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.05·6 = 0.3

e^0.3 = 1.35

终值

FV = 2 000·1.35 = €2 699.72

答案

FV = €2 699.72

2.货币的时间价值

答案: I = 1321 €

月供

i = 0.0035, N = 48

A = 15 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)⁻⁴⁸) = €340.03

利息总额

I = N·A − P = 48·340 − 15 000 = €1 321.44

答案

I = €1 321.44

3.债券定价与收益率

答案: c = 7.002 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.055)⁻¹⁴ = €472.57

票息

C = (1144 − 472.57)/9.59 = €70.02

票面利率

c = 70.02/1000 = 7.002%

答案

c = 7.002%

4.债券定价与收益率

答案: P = 915.7 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 8.8/1.07 = 8.224

估计的价格变化

%ΔP ≈ −8.224·(0.005) = −4.112%

P ≈ 955·(1 − 0.04112) = €915.73

答案

P = €915.73

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.255 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €3 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·8% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.21) = 6.255%

答案

WACC = 6.255%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.491 %

市场价值

E = 4 000 000·€45.50 = €182 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.1·6.5% = 9.65%

权重

V = €220 400 000, E/V = 0.8258, D/V = 0.1742

WACC

WACC = 0.8258·9.65% + 0.1742·4%·(1 − 0.25) = 8.491%

答案

WACC = 8.491%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 13729 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.12⁻⁶)/0.12 = 4.111

年化购置价格

40 000/4.111 = 9 729.03

EAC

EAC = 9 729.03 + 4 000 = €13 729.03

答案

EAC = €13 729.03

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.698 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 1 065.76

NPV(10%) = −1 942.15

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·1 065.76/(1 065.76 − (−1 942.15)) = 6.772%

精确: NPV(6.698%) = 0 → IRR = 6.698%

答案

IRR = 6.698%

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