投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123456PV = ?€50 000

你在 6 年后需要 €50 000。某账户年利率 6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0006% / 12n = 6
PV = €
2.货币的时间价值困难
月01…192…300€150 000AB = ?A3% / 12

一笔 €150 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在第 16 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €150 0003% / 12N = 300k = 192
B = €
3.债券定价与收益率中等
半年0123…18€20€20€20 + €1 000P = ?

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 5%。 求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 5%n = 9
P = €
4.债券定价与收益率困难
年0123…9€910€70€70 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 9 年后到期，售价为 €910。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 9P = €910
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?所有者权益€2 000 000re​ = 9%债务€4 000 000rd​ = 4.5%T = 20%

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €4 000 000re = 9%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
rf​ = 4%, rm​ − rf​ = 5.5%D/E = 0.5所有者权益βL​ = 1.2债务D/E = 1.25所有者权益re​ = ?债务T = 20%

一家公司股票在当前负债权益比 0.5 下的贝塔为 1.2。公司计划把负债权益比提高到 1.25。税率为 20%，无风险利率为 4%，市场风险溢价为 5.5%。求变化后的股权资本成本 re。

βL = 1.2D/E1 = 0.5D/E2 = 1.25T = 20%rf = 4%rm − rf = 5.5%
re = %
7.NPV 与 IRR中等
年01234−75 00037 00036 00026 00036 000

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€37 000, €36 000, €26 000, €36 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF0 = −75 000CF1 = 37 000CF2 = 36 000CF3 = 26 000CF4 = 36 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123…9−25 0005 0005 0005 0005 000

一笔 €25 000 的投资在 9 年内每年年末回报 €5 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C0 = €25 000CF = €5 000n = 9
IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 34915 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·6 = 72

现值

PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.432 = €34 915.12

答案

PV = €34 915.12
2.货币的时间价值

答案: B = 67252 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.0025, N = 300
A = 150 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−300) = €711.32

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 300 − 192 = 108
B = 711.3·(1 − (1 + 0.0025)−108)/0.0025 = €67 251.68

答案

B = €67 251.68
3.债券定价与收益率

答案: P = 928.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.025, N = 18

票息的现值

€20.00·(1 − 0.6412)/0.025 = €287.07

面值的现值

€1 000·0.6412 = €641.17

价格

P = €928.23

答案

P = €928.23

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.469 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€910 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(8%) = €937.53, P(9%) = €880.10
YTM = 8.469%

答案

YTM = 8.469%
5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.4 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667

WACC

WACC = 0.3333·9% + 0.6667·4.5%·(1 − 0.2) = 5.4%

答案

WACC = 5.4%
6.CAPM 与 WACC

答案: re = 13.43 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

βU = 1.2/(1 + 0.8·0.5) = 0.8571

按新的 D/E 重新加杠杆

βL = 0.8571·(1 + 0.8·1.25) = 1.714

股权成本（CAPM）

re = 4% + 1.714·5.5% = 13.43%

答案

re = 13.43%
7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 44968 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 37 000/1.05 = 35 238.10
CF2/(1 + 0.05)2 = 36 000/1.103 = 32 653.06
CF3/(1 + 0.05)3 = 26 000/1.158 = 22 459.78
CF4/(1 + 0.05)4 = 36 000/1.216 = 29 617.29

相加

NPV = €44 968.22

答案

NPV = €44 968.22

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 13.7 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)−9)/i = 25 000/5 000 = 5

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 13%: 5.132
i = 14%: 4.946
IRR = 13.7%

答案

IRR = 13.7%

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