投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €10 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €10 000g = 3%r = 5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 500，共 20 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 20 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 500i = 3%n = 20

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，7 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 8%n = 7y₁ = 6%y₂ = 5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 6 年后到期，售价为 €875。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 6P = €875

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 5 000 000 股股票，股价为 €28.50；其股权账面价值为 €71 300 000。公司刚支付了每股 €0.60 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €71 300 000，税前成本为 5%。税率为 28%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 5 000 000P₀ = €28.50股权账面价值 = €71 300 000D₀ = €0.60g = 5%D = €71 300 000r_d = 5%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €200 000。它在第一年年末产生 €10 000，之后现金流每年永久增长 4%。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €10 000g = 4%r = 10%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €17 000, €28 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 17 000CF₂ = 28 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 500000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0.05 − 0.03) = 10 000/0.02 = €500 000.00

答案

PV = €500 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 69191 €

普通年金系数

((1 + 0.03)²⁰ − 1)/0.03 = 26.87

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 500·26.87·1.03 = €69 191.21

答案

FV = €69 191.21

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 61.94 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.06, N = 7

€80.00·(1 − 0.6651)/0.06 + €1 000·0.6651 = €446.59 + €665.06 = €1 111.65

按新收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.05, N = 7

€80.00·(1 − 0.7107)/0.05 + €1 000·0.7107 = €462.91 + €710.68 = €1 173.59

变化

ΔP = 1 173.59 − 1 111.65 = €61.94

答案

ΔP = €61.94

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.502 %

收益率方程

€875 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(5%) = €898.49, P(6%) = €852.48

YTM = 5.502%

答案

YTM = 5.502%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.66 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC

WACC = 0.8571·12% + 0.1429·3.5%·(1 − 0.258) = 10.66%

答案

WACC = 10.66%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.006 %

股权成本

D₁ = 0.6·1.05 = €0.63

r_e = 0.63/28.5 + 0.05 = 7.211%

市场价值

E = 5 000 000·€28.50 = €142 500 000

V = €213 800 000, E/V = 0.6665, D/V = 0.3335

WACC

WACC = 0.6665·7.211% + 0.3335·5%·(1 − 0.28) = 6.006%

答案

WACC = 6.006%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −33333 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 10 000/(0.1 − 0.04) = 166 666.67

NPV

NPV = 166 666.67 − 200 000 = −€33 333.33

答案

NPV = −€33 333.33

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 8.293 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 2 040.82

NPV(10%) = −991.74

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·2 040.82/(2 040.82 − (−991.74)) = 8.365%

精确: NPV(8.293%) = 0 → IRR = 8.293%

答案

IRR = 8.293%

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