投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €20 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0004% / 12n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 10 年内每月月末存入 €300。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3003.6% / 12N = 120

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 11 年后到期，每年付息。到期收益率为 3.5% 时其售价为 €1 405。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 11P = €1 405YTM = 3.5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 5 年后到期，售价为 €905。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 5P = €905

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.4 的股票要求回报为 9.4%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.4r_e = 9.4%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €10.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 3.5%r_m = 8%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €18 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €18 000g = 1%r = 10%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €19 500, €33 500, €32 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 19 500CF₂ = 33 500CF₃ = 32 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 17047 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·4 = 48

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.173 = €17 047.41

答案

PV = €17 047.41

2.货币的时间价值

答案: FV = 43256 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·10 = 120

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.433 − 1)/0.003 = €43 255.72

答案

FV = €43 255.72

你自己存入了 €36 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: c = 7.999 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.035)⁻¹¹ = €684.95

票息

C = (1405 − 684.95)/9.002 = €79.99

票面利率

c = 79.99/1000 = 7.999%

答案

c = 7.999%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 10.54 %

收益率方程

€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(10%) = €924.18, P(11%) = €889.12

YTM = 10.54%

答案

YTM = 10.54%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (9.4% − 1%)/1.4 = 6%

市场回报

r_m = 1% + 6% = 7%

答案

r_m = 7%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.319 %

市场价值

E = 2 000 000·€10.00 = €20 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.8·4.5% = 11.6%

权重

V = €41 000 000, E/V = 0.4878, D/V = 0.5122

WACC

WACC = 0.4878·11.6% + 0.5122·7%·(1 − 0.258) = 8.319%

答案

WACC = 8.319%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −50000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 18 000/(0.1 − 0.01) = 200 000.00

NPV

NPV = 200 000.00 − 250 000 = −€50 000.00

答案

NPV = −€50 000.00

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 29.2 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 3 424.00

NPV(30%) = −612.20

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·3 424.00/(3 424.00 − (−612.20)) = 29.24%

精确: NPV(29.2%) = 0 → IRR = 29.2%

答案

IRR = 29.2%

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