投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 2 年后需要 €10 000。某账户年利率 3.6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0003.6% / 4n = 2

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 7 年内每月月末存入 €100。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1002.4% / 12N = 84

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 6 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 4% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 6y₀ = 4%y₁ = 5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 5 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 5P = €940

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1。其股权资本成本为 8%，税前债务成本为 3%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 1r_e = 8%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €52.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 3.5%r_m = 10%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000，使用 10 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €50 000M = €1 000n = 10r = 5%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €14 000, €11 500, €14 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 000CF₂ = 11 500CF₃ = 14 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 9308 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = 4·2 = 8

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.074 = €9 308.31

答案

PV = €9 308.31

2.货币的时间价值

答案: FV = 9137 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·7 = 84

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.183 − 1)/0.002 = €9 136.91

答案

FV = €9 136.91

你自己存入了 €8 400；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: HPR = −0.2785 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.04, N = 6

€45.00·(1 − 0.7903)/0.04 + €1 000·0.7903 = €235.90 + €790.31 = €1 026.21

卖出价

C = €45.00, i = 0.05, N = 5

€45.00·(1 − 0.7835)/0.05 + €1 000·0.7835 = €194.83 + €783.53 = €978.35

持有期收益率

HPR = (45 + 978.35 − 1 026.21)/1 026.21 = −0.2785%

答案

HPR = −0.2785%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.524 %

收益率方程

€940 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(8%) = €960.07, P(9%) = €922.21

YTM = 8.524%

答案

YTM = 8.524%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.2 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·8% + 0.5·3%·(1 − 0.2) = 5.2%

答案

WACC = 5.2%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.338 %

市场价值

E = 4 000 000·€52.50 = €210 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.1·6.5% = 10.65%

权重

V = €250 000 000, E/V = 0.84, D/V = 0.16

WACC

WACC = 0.84·10.65% + 0.16·3.5%·(1 − 0.3) = 9.338%

答案

WACC = 9.338%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 7475 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻¹⁰)/0.05 = 7.722

年化购置价格

50 000/7.722 = 6 475.23

EAC

EAC = 6 475.23 + 1 000 = €7 475.23

答案

EAC = €7 475.23

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 44.51 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(40%) = 1 151.60

NPV(45%) = −118.91

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 40 + 5·1 151.60/(1 151.60 − (−118.91)) = 44.53%

精确: NPV(44.51%) = 0 → IRR = 44.51%

答案

IRR = 44.51%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation