投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 21%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 21%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €200 0004.8% / 12N = 300

I = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 3 年后到期，每年付息。到期收益率为 3% 时其售价为 €1 028。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 3P = €1 028YTM = 3%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 3 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 3P = €940

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 6%，税率为 30%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €16.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2%r_m = 9%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€16 000, €14 000, €30 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 000CF₂ = 14 000CF₃ = 30 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €6 500, €6 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 6 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 23.36 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.21/365 = 0.0005753

复利一年

EAR = (1 + 0.0005753)³⁶⁵ − 1 = 1.234 − 1 = 23.36%

答案

EAR = 23.36%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: I = 143798 €

月供

i = 0.004, N = 300

A = 200 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻³⁰⁰) = €1 145.99

利息总额

I = N·A − P = 300·1146 − 200 000 = €143 798.18

答案

I = €143 798.18

3.债券定价与收益率

答案: c = 3.99 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.03)⁻³ = €915.14

票息

C = (1028 − 915.14)/2.829 = €39.90

票面利率

c = 39.9/1000 = 3.99%

答案

c = 3.99%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 10.43 %

收益率方程

€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(10%) = €950.26, P(11%) = €926.69

YTM = 10.43%

答案

YTM = 10.43%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC

WACC = 0.375·13% + 0.625·6%·(1 − 0.3) = 7.5%

答案

WACC = 7.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.85 %

市场价值

E = 4 000 000·€16.00 = €64 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.5·7% = 12.5%

权重

V = €69 250 000, E/V = 0.9242, D/V = 0.07581

WACC

WACC = 0.9242·12.5% + 0.07581·5%·(1 − 0.21) = 11.85%

答案

WACC = 11.85%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −7257 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 16 000/1.06 = 15 094.34

CF₂/(1 + 0.06)² = 14 000/1.124 = 12 459.95

CF₃/(1 + 0.06)³ = 30 000/1.191 = 25 188.58

相加

NPV = €−7 257.13

答案

NPV = €−7 257.13

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 19.43 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 567.11

NPV(20%) = −69.44

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·567.11/(567.11 − (−69.44)) = 19.45%

精确: NPV(19.43%) = 0 → IRR = 19.43%

答案

IRR = 19.43%

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