投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 9 年后需要 €25 000。某账户年利率 4.8%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €25 0004.8% / 12n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的贷款在 30 年内以等额月供偿还。年利率 3.6%，按月复利。求月供 A。

P = €150 0003.6% / 12N = 360

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 4%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 9y₁ = 6%y₂ = 4%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，分两次半年支付，4 年后到期。其售价为 €899。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5% (2×)n = 4P = €899

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 4%，税率为 21%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 4 000 000 股股票，股价为 €24.50；其股权账面价值为 €39 200 000。公司刚支付了每股 €1.20 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €98 000 000，税前成本为 3%。税率为 28%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 4 000 000P₀ = €24.50股权账面价值 = €39 200 000D₀ = €1.20g = 3%D = €98 000 000r_d = 3%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000。它在 4 年内每年年末产生 €14 500，之后可以以 €7 500 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF = €14 500S = €7 500n = 4r = 10%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €10 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €4 500, €4 000, €5 500, €6 000。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 10%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 4 000CF₃ = 5 500CF₄ = 6 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 16244 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·9 = 108

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.539 = €16 244.23

答案

PV = €16 244.23

2.货币的时间价值

答案: A = 682 €

月利率和还款期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·30 = 360

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.3401

A = 150 000·0.003/(1 − 0.3401) = €681.97

答案

A = €681.97

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 139.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.06, N = 9

€45.00·(1 − 0.5919)/0.06 + €1 000·0.5919 = €306.08 + €591.90 = €897.97

按新收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.04, N = 9

€45.00·(1 − 0.7026)/0.04 + €1 000·0.7026 = €334.59 + €702.59 = €1 037.18

变化

ΔP = 1 037.18 − 897.97 = €139.20

答案

ΔP = €139.20

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 8 %

每期

C = €25.00, N = 8

数值求解

i = 4% 每半年

YTM

YTM = 2·4% = 8%

答案

YTM = 8%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.02 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111

WACC

WACC = 0.8889·12% + 0.1111·4%·(1 − 0.21) = 11.02%

答案

WACC = 11.02%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.102 %

股权成本

D₁ = 1.2·1.03 = €1.24

r_e = 1.236/24.5 + 0.03 = 8.045%

市场价值

E = 4 000 000·€24.50 = €98 000 000

V = €196 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·8.045% + 0.5·3%·(1 − 0.28) = 5.102%

答案

WACC = 5.102%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 1086 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

14 500·3.17 = 45 963.05

残值的现值

7 500/1.464 = 5 122.60

NPV

NPV = −50 000 + 45 963.05 + 5 122.60 = €1 085.65

答案

NPV = €1 085.65

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 22.99 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

4 500·1.1³ = 5 989.50

4 000·1.1² = 4 840.00

5 500·1.1¹ = 6 050.00

6 000·1.1⁰ = 6 000.00

TV = 22 879.50

MIRR

MIRR = (22 879.50/10 000)^1/4 − 1 = 22.99%

答案

MIRR = 22.99%

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