投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €5 000，共 13 年。年利率为 6%。求该年金的现值 PV。

A = €5 000i = 6%n = 13

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 30 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0005.4% / 12N = 360

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 4 年后到期，每年付息。到期收益率为 2.5% 时其售价为 €1 169。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 4P = €1 169YTM = 2.5%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 6 年后到期，售价为 €935。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 6P = €935

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 6%，税率为 28%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €10.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 2.5%r_m = 7%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€17 000, €11 000, €20 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 11 000CF₃ = 20 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €29 000, €23 500, €17 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 000CF₂ = 23 500CF₃ = 17 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 44263 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4688)/0.06 = 8.853

现值

PV = 5 000·8.853 = €44 263.41

答案

PV = €44 263.41

2.货币的时间价值

答案: A = 1123 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·30 = 360

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.1986

A = 200 000·0.0045/(1 − 0.1986) = €1 123.06

答案

A = €1 123.06

3.债券定价与收益率

答案: c = 6.992 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.025)⁻⁴ = €905.95

票息

C = (1169 − 905.95)/3.762 = €69.92

票面利率

c = 69.92/1000 = 6.992%

答案

c = 6.992%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.469 %

收益率方程

€935 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(9%) = €955.14, P(10%) = €912.89

YTM = 9.469%

答案

YTM = 9.469%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.66 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €4 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·11% + 0.5·6%·(1 − 0.28) = 7.66%

答案

WACC = 7.66%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.448 %

市场价值

E = 5 000 000·€10.50 = €52 500 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.3·4.5% = 8.35%

权重

V = €93 300 000, E/V = 0.5627, D/V = 0.4373

WACC

WACC = 0.5627·8.35% + 0.4373·5%·(1 − 0.2) = 6.448%

答案

WACC = 6.448%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6817 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 17 000/1.12 = 15 178.57

CF₂/(1 + 0.12)² = 11 000/1.254 = 8 769.13

CF₃/(1 + 0.12)³ = 20 000/1.405 = 14 235.60

相加

NPV = €−6 816.69

答案

NPV = €−6 816.69

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 38.03 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 1 488.59

NPV(40%) = −918.37

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·1 488.59/(1 488.59 − (−918.37)) = 38.09%

精确: NPV(38.03%) = 0 → IRR = 38.03%

答案

IRR = 38.03%

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