投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 8%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €2 000g = 4%r = 8%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 5.4% 的利率借入 €15 000，按月复利，每月月末偿还 €250。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €15 000A = €2505.4% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 11 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €1 075。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 11P = €1 075YTM = 7%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 7 年后到期，售价为 €1 095。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 7P = €1 095

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €55.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 3%r_m = 8%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €22 500, €14 000, €25 000, €12 000, €12 500, €20 000。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 500CF₂ = 14 000CF₃ = 25 000CF₄ = 12 000CF₅ = 12 500CF₆ = 20 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一笔 €40 000 的投资在 7 年内每年年末回报 €9 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €40 000CF = €9 000n = 7

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 50000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.08 − 0.04) = 2 000/0.04 = €50 000.00

答案

PV = €50 000.00

2.货币的时间价值

答案: N = 71 次还款

将年金公式变形

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.0045/250 = 0.73

用对数求解

N = −ln(0.73)/ln(1.004) = 70.09

向上取整到整次还款

70 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 71

答案

N = 71 次还款

3.债券定价与收益率

答案: c = 8 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻¹¹ = €475.09

票息

C = (1075 − 475.09)/7.499 = €80.00

票面利率

c = 80/1000 = 8%

答案

c = 8%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.504 %

收益率方程

€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(2%) = €1 129.44, P(3%) = €1 062.30

YTM = 2.504%

答案

YTM = 2.504%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.967 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667

WACC

WACC = 0.3333·13% + 0.6667·3.5%·(1 − 0.3) = 5.967%

答案

WACC = 5.967%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.58 %

市场价值

E = 5 000 000·€55.00 = €275 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.8·5% = 12%

权重

V = €294 200 000, E/V = 0.9347, D/V = 0.06526

WACC

WACC = 0.9347·12% + 0.06526·7%·(1 − 0.2) = 11.58%

答案

WACC = 11.58%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.56 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 22 500/1.06 = 21 226.42 → Σ = 21 226.42

年份 2: 14 000/1.124 = 12 459.95 → Σ = 33 686.37

年份 3: 25 000/1.191 = 20 990.48 → Σ = 54 676.85

年份 4: 12 000/1.262 = 9 505.12 → Σ = 64 181.97

最后一年的分数

DPB = 3 + 5 323.15/9 505.12 = 3.56

答案

DPB = 3.56 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.94 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 12.84 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 40 000/9 000 = 4.444

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 12%: 4.564

i = 13%: 4.423

IRR = 12.84%

答案

IRR = 12.84%

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