投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €20 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0004% / 12n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 19 年内每月月末存入 €300。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3005.4% / 12N = 228

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，7 年后到期。其到期收益率从 4% 变为 2%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 7%n = 7y₁ = 4%y₂ = 2%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 6 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 6P = €950

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 7%，税率为 20%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €42.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 3%r_m = 9%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€15 000, €27 000, €29 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 27 000CF₃ = 29 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €25 000, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 25 000CF₂ = 18 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 27528 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·8 = 96

终值

FV = 20 000·(1 + 0.003333)⁹⁶ = 20 000·1.376 = €27 527.90

答案

FV = €27 527.90

2.货币的时间价值

答案: FV = 118898 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·19 = 228

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2.783 − 1)/0.0045 = €118 898.01

答案

FV = €118 898.01

你自己存入了 €68 400；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 143.5 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €70.00, i = 0.04, N = 7

€70.00·(1 − 0.7599)/0.04 + €1 000·0.7599 = €420.14 + €759.92 = €1 180.06

按新收益率计算的价格

C = €70.00, i = 0.02, N = 7

€70.00·(1 − 0.8706)/0.02 + €1 000·0.8706 = €453.04 + €870.56 = €1 323.60

变化

ΔP = 1 323.60 − 1 180.06 = €143.54

答案

ΔP = €143.54

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.985 %

收益率方程

€950 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(4%) = €1 000.00, P(5%) = €949.24

YTM = 4.985%

答案

YTM = 4.985%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.22 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·13% + 0.375·7%·(1 − 0.2) = 10.22%

答案

WACC = 10.22%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.912 %

市场价值

E = 2 000 000·€42.00 = €84 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.3·6% = 10.8%

权重

V = €94 000 000, E/V = 0.8936, D/V = 0.1064

WACC

WACC = 0.8936·10.8% + 0.1064·3.5%·(1 − 0.3) = 9.912%

答案

WACC = 9.912%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2530 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 15 000/1.06 = 14 150.94

CF₂/(1 + 0.06)² = 27 000/1.124 = 24 029.90

CF₃/(1 + 0.06)³ = 29 000/1.191 = 24 348.96

相加

NPV = €2 529.81

答案

NPV = €2 529.81

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.094 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 589.57

NPV(10%) = −1 983.47

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·589.57/(589.57 − (−1 983.47)) = 6.146%

精确: NPV(6.094%) = 0 → IRR = 6.094%

答案

IRR = 6.094%

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