投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €5 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 6%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €5 000g = 2%r = 6%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 30 年内每月月末存入 €500。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5002.4% / 12N = 360

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 10 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）到期收益率为 4% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 3.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 10y₀ = 4%y₁ = 3.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 3 年后到期，售价为 €960。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 3P = €960

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 6%，税率为 25%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €27.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 2.5%r_m = 8%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000，使用 6 年，每年运行费用为 €5 000（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €60 000M = €5 000n = 6r = 10%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €22 500, €16 000, €9 000。项目 B 需投入 €45 000，回报为 €12 000, €17 500, €24 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −40 000, 22 500, 16 000, 9 000B: −45 000, 12 000, 17 500, 24 500

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 125000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.06 − 0.02) = 5 000/0.04 = €125 000.00

答案

PV = €125 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 263239 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·30 = 360

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2.053 − 1)/0.002 = €263 239.13

答案

FV = €263 239.13

你自己存入了 €180 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 7.393 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €80.00, i = 0.04, N = 10

€80.00·(1 − 0.6756)/0.04 + €1 000·0.6756 = €648.87 + €675.56 = €1 324.44

卖出价

C = €80.00, i = 0.035, N = 9

€80.00·(1 − 0.7337)/0.035 + €1 000·0.7337 = €608.61 + €733.73 = €1 342.35

持有期收益率

HPR = (80 + 1 342.35 − 1 324.44)/1 324.44 = 7.393%

答案

HPR = 7.393%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.511 %

收益率方程

€960 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(6%) = €973.27, P(7%) = €947.51

YTM = 6.511%

答案

YTM = 6.511%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.286 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714

WACC

WACC = 0.4286·11% + 0.5714·6%·(1 − 0.25) = 7.286%

答案

WACC = 7.286%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.73 %

市场价值

E = 4 000 000·€27.00 = €108 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.8·5.5% = 12.4%

权重

V = €117 600 000, E/V = 0.9184, D/V = 0.08163

WACC

WACC = 0.9184·12.4% + 0.08163·6%·(1 − 0.3) = 11.73%

答案

WACC = 11.73%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 18776 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1⁻⁶)/0.1 = 4.355

年化购置价格

60 000/4.355 = 13 776.44

EAC

EAC = 13 776.44 + 5 000 = €18 776.44

答案

EAC = €18 776.44

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 4.215 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 12 000 − 22 500 = −10 500

ΔCF₂ = 17 500 − 16 000 = 1 500

ΔCF₃ = 24 500 − 9 000 = 15 500

差额的 IRR

NPV_Δ(4%) = 70.12

NPV_Δ(5%) = −249.97

r* = 4.215%

答案

r* = 4.215%

校核：在 4.215% 时两个 NPV 都是 €4 273.17。

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