投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €3 000，共 15 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。

A = €3 000i = 8%n = 15

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 16 年后得到 €10 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 4.8%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €10 0004.8% / 12N = 192

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，13 年后到期。其到期收益率从 3.5% 变为 5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4%n = 13y₁ = 3.5%y₂ = 5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 050，到期收益率为 3%（按年复利），麦考利久期为 4.4 年。如果收益率上升 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 050y = 3%D = 4.4Δy = +75 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.5 的股票要求回报为 7%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.5r_e = 7%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 4 000 000 股股票，股价为 €57.50；其股权账面价值为 €115 000 000。公司刚支付了每股 €0.80 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €184 000 000，税前成本为 5%。税率为 30%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 4 000 000P₀ = €57.50股权账面价值 = €115 000 000D₀ = €0.80g = 5%D = €184 000 000r_d = 5%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€29 000, €32 000, €23 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 29 000CF₂ = 32 000CF₃ = 23 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €6 000, €4 000, €2 000。项目 B 需投入 €15 000，回报为 €4 500, €6 000, €7 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −15 000, 4 500, 6 000, 7 500

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 25678 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3152)/0.08 = 8.559

现值

PV = 3 000·8.559 = €25 678.44

答案

PV = €25 678.44

2.货币的时间价值

答案: A = 34.72 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·16 = 192

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0.004/(2.152 − 1) = €34.72

答案

A = €34.72

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −145.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.035, N = 13

€40.00·(1 − 0.6394)/0.035 + €1 000·0.6394 = €412.11 + €639.40 = €1 051.51

按新收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.05, N = 13

€40.00·(1 − 0.5303)/0.05 + €1 000·0.5303 = €375.74 + €530.32 = €906.06

变化

ΔP = 906.06 − 1 051.51 = −€145.45

答案

ΔP = −€145.45

4.债券定价与收益率

答案: P = 1016 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 4.4/1.03 = 4.272

估计的价格变化

%ΔP ≈ −4.272·(0.0075) = −3.204%

P ≈ 1050·(1 − 0.03204) = €1 016.36

答案

P = €1 016.36

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (7% − 1%)/1.5 = 4%

市场回报

r_m = 1% + 4% = 5%

答案

r_m = 5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.145 %

股权成本

D₁ = 0.8·1.05 = €0.84

r_e = 0.84/57.5 + 0.05 = 6.461%

市场价值

E = 4 000 000·€57.50 = €230 000 000

V = €414 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·6.461% + 0.4444·5%·(1 − 0.3) = 5.145%

答案

WACC = 5.145%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −3701 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 29 000/1.09 = 26 605.50

CF₂/(1 + 0.09)² = 32 000/1.188 = 26 933.76

CF₃/(1 + 0.09)³ = 23 000/1.295 = 17 760.22

相加

NPV = €−3 700.52

答案

NPV = €−3 700.52

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 5.886 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 500 − 6 000 = −1 500

ΔCF₂ = 6 000 − 4 000 = 2 000

ΔCF₃ = 7 500 − 2 000 = 5 500

差额的 IRR

NPV_Δ(5%) = 136.59

NPV_Δ(6%) = −17.20

r* = 5.886%

答案

r* = 5.886%

校核：在 5.886% 时两个 NPV 都是 €918.74。

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