投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 8% 的利率连续复利投资 €10 000。求 9 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 8%t = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0002.4% / 12N = 60

A = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，14 年后到期。其到期收益率从 3% 变为 1%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 14y₁ = 3%y₂ = 1%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 7 年后到期，售价为 €1 080。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 7P = €1 080

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €6 000 000，债务价值为 €5 000 000。其 WACC 为 6.93%，税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。求股权资本成本 r_e。

E = €6 000 000D = €5 000 000WACC = 6.93%r_d = 4.5%T = 28%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €21.00；其股权账面价值为 €8 400 000。公司刚支付了每股 €1.60 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €10 500 000，税前成本为 6%。税率为 20%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 1 000 000P₀ = €21.00股权账面价值 = €8 400 000D₀ = €1.60g = 3%D = €10 500 000r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €30 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €8 500, €12 500, €10 000, €7 500, €8 500, €8 500。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 500CF₂ = 12 500CF₃ = 10 000CF₄ = 7 500CF₅ = 8 500CF₆ = 8 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €14 500, €18 000, €27 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 18 000CF₃ = 27 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 20544 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.08·9 = 0.72

e^0.72 = 2.054

终值

FV = 10 000·2.054 = €20 544.33

答案

FV = €20 544.33

2.货币的时间价值

答案: A = 212.4 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.887

A = 12 000·0.002/(1 − 0.887) = €212.44

答案

A = €212.44

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = 285.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.03, N = 14

€45.00·(1 − 0.6611)/0.03 + €1 000·0.6611 = €508.32 + €661.12 = €1 169.44

按新收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.01, N = 14

€45.00·(1 − 0.87)/0.01 + €1 000·0.87 = €585.17 + €869.96 = €1 455.13

变化

ΔP = 1 455.13 − 1 169.44 = €285.69

答案

ΔP = €285.69

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.539 %

收益率方程

€1 080 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(6%) = €1 111.65, P(7%) = €1 053.89

YTM = 6.539%

答案

YTM = 6.539%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 10.01 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.5455, D/V = 0.4545

WACC 中的债务部分

0.4545·4.5%·(1 − 0.28) = 1.473%

股权成本

r_e = (6.93% − 1.473%)/0.5455 = 10.01%

答案

r_e = 10.01%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.832 %

股权成本

D₁ = 1.6·1.03 = €1.65

r_e = 1.648/21 + 0.03 = 10.85%

市场价值

E = 1 000 000·€21.00 = €21 000 000

V = €31 500 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·10.85% + 0.3333·6%·(1 − 0.2) = 8.832%

答案

WACC = 8.832%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.116 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 8 500/1.12 = 7 589.29 → Σ = 7 589.29

年份 2: 12 500/1.254 = 9 964.92 → Σ = 17 554.21

年份 3: 10 000/1.405 = 7 117.80 → Σ = 24 672.01

年份 4: 7 500/1.574 = 4 766.39 → Σ = 29 438.40

年份 5: 8 500/1.762 = 4 823.13 → Σ = 34 261.53

最后一年的分数

DPB = 4 + 561.60/4 823.13 = 4.116

答案

DPB = 4.116 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.9 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 20.3 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 208.33

NPV(25%) = −3 056.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·208.33/(208.33 − (−3 056.00)) = 20.32%

精确: NPV(20.3%) = 0 → IRR = 20.3%

答案

IRR = 20.3%

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