投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €2 000，共 18 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。

A = €2 000i = 8%n = 18

PV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 2.4% 的利率借入 €20 000，按月复利，每月月末偿还 €600。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €20 000A = €6002.4% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 8%n = 9

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，分两次半年支付，7 年后到期。其售价为 €1 287。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7% (2×)n = 7P = €1 287

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €4 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 11.62%，税前债务成本为 3%，税率为 30%。求股权资本成本 r_e。

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 11.62%r_d = 3%T = 30%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €45.50；其股权账面价值为 €45 500 000。公司刚支付了每股 €2.60 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €27 300 000，税前成本为 3%。税率为 21%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €45.50股权账面价值 = €45 500 000D₀ = €2.60g = 3%D = €27 300 000r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€26 000, €25 000, €31 000, €30 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 26 000CF₂ = 25 000CF₃ = 31 000CF₄ = 30 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €5 500, €4 000, €2 500。项目 B 需投入 €12 000，回报为 €3 000, €4 500, €7 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 000, 4 500, 7 000

r* = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 18744 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.2502)/0.08 = 9.372

现值

PV = 2 000·9.372 = €18 743.77

答案

PV = €18 743.77

2.货币的时间价值

答案: N = 35 次还款

将年金公式变形

i = 0.002

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.002/600 = 0.9333

用对数求解

N = −ln(0.9333)/ln(1.002) = 34.53

向上取整到整次还款

34 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 35

答案

N = 35 次还款

3.债券定价与收益率

答案: P = 620.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.04, N = 18

票息的现值

€10.00·(1 − 0.4936)/0.04 = €126.59

面值的现值

€1 000·0.4936 = €493.63

价格

P = €620.22

答案

P = €620.22

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.505 %

每期

C = €35.00, N = 14

数值求解

i = 1.252% 每半年

YTM

YTM = 2·1.252% = 2.505%

答案

YTM = 2.505%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC 中的债务部分

0.2·3%·(1 − 0.3) = 0.42%

股权成本

r_e = (11.62% − 0.42%)/0.8 = 14%

答案

r_e = 14%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.382 %

股权成本

D₁ = 2.6·1.03 = €2.68

r_e = 2.678/45.5 + 0.03 = 8.886%

市场价值

E = 2 000 000·€45.50 = €91 000 000

V = €118 300 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·8.886% + 0.2308·3%·(1 − 0.21) = 7.382%

答案

WACC = 7.382%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 17167 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 26 000/1.08 = 24 074.07

CF₂/(1 + 0.08)² = 25 000/1.166 = 21 433.47

CF₃/(1 + 0.08)³ = 31 000/1.26 = 24 608.80

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 30 000/1.36 = 22 050.90

相加

NPV = €17 167.24

答案

NPV = €17 167.24

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: r* = 4.59 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 4 500 − 4 000 = 500

ΔCF₃ = 7 000 − 2 500 = 4 500

差额的 IRR

NPV_Δ(4%) = 58.92

NPV_Δ(5%) = −40.17

r* = 4.59%

答案

r* = 4.59%

校核：在 4.59% 时两个 NPV 都是 €1 100.42。

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