投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 5 年后需要 €25 000。某账户年利率 4.8%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €25 0004.8% / 4n = 5

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 29 年内每月月末存入 €500。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5005.4% / 12N = 348

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 3.5%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 005，到期收益率为 6%（按年复利），麦考利久期为 7.3 年。如果收益率上升 150 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 005y = 6%D = 7.3Δy = +150 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €31.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2.5%r_m = 8%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000，使用 4 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 12%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €60 000M = €1 000n = 4r = 12%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €33 500, €28 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 33 500CF₂ = 28 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 19694 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·5 = 20

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.269 = €19 693.81

答案

PV = €19 693.81

2.货币的时间价值

答案: FV = 418963 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·29 = 348

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(4.771 − 1)/0.0045 = €418 963.48

答案

FV = €418 963.48

你自己存入了 €174 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 977.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.0175, N = 10

票息的现值

€15.00·(1 − 0.8407)/0.0175 = €136.52

面值的现值

€1 000·0.8407 = €840.73

价格

P = €977.25

答案

P = €977.25

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: P = 901.2 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 7.3/1.06 = 6.887

估计的价格变化

%ΔP ≈ −6.887·(0.015) = −10.33%

P ≈ 1005·(1 − 0.1033) = €901.18

答案

P = €901.18

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.355 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·11% + 0.5·5%·(1 − 0.258) = 7.355%

答案

WACC = 7.355%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.977 %

市场价值

E = 2 000 000·€31.50 = €63 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.5·5.5% = 10.75%

权重

V = €83 400 000, E/V = 0.7554, D/V = 0.2446

WACC

WACC = 0.7554·10.75% + 0.2446·5%·(1 − 0.3) = 8.977%

答案

WACC = 8.977%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 20754 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.12⁻⁴)/0.12 = 3.037

年化购置价格

60 000/3.037 = 19 754.07

EAC

EAC = 19 754.07 + 1 000 = €20 754.07

答案

EAC = €20 754.07

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 16.1 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 680.53

NPV(20%) = −2 291.67

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·680.53/(680.53 − (−2 291.67)) = 16.14%

精确: NPV(16.1%) = 0 → IRR = 16.1%

答案

IRR = 16.1%

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