投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €5 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1%。要求回报率为每年 5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €5 000g = 1%r = 5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 12 年内每月月末存入 €50。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €504.8% / 12N = 144

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 5%n = 6

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 4 年后到期，售价为 €1 035。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 4P = €1 035

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 4%，税率为 30%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €22.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 2.5%r_m = 6.5%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€24 000, €20 000, €30 000, €36 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 24 000CF₂ = 20 000CF₃ = 30 000CF₄ = 36 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 500, €5 500, €5 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 500CF₃ = 5 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 125000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.05 − 0.01) = 5 000/0.04 = €125 000.00

答案

PV = €125 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 9711 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·12 = 144

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.777 − 1)/0.004 = €9 710.82

答案

FV = €9 710.82

你自己存入了 €7 200；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 1051 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.025, N = 12

票息的现值

€30.00·(1 − 0.7436)/0.025 = €307.73

面值的现值

€1 000·0.7436 = €743.56

价格

P = €1 051.29

答案

P = €1 051.29

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.99 %

收益率方程

€1 035 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(5%) = €1 070.92, P(6%) = €1 034.65

YTM = 5.99%

答案

YTM = 5.99%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.457 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714

WACC

WACC = 0.4286·9% + 0.5714·4%·(1 − 0.3) = 5.457%

答案

WACC = 5.457%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.694 %

市场价值

E = 2 000 000·€22.00 = €44 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.9·4% = 6.1%

权重

V = €64 000 000, E/V = 0.6875, D/V = 0.3125

WACC

WACC = 0.6875·6.1% + 0.3125·6%·(1 − 0.2) = 5.694%

答案

WACC = 5.694%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 14645 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 24 000/1.08 = 22 222.22

CF₂/(1 + 0.08)² = 20 000/1.166 = 17 146.78

CF₃/(1 + 0.08)³ = 30 000/1.26 = 23 814.97

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 36 000/1.36 = 26 461.07

相加

NPV = €14 645.04

答案

NPV = €14 645.04

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 29.92 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 736.00

NPV(30%) = −11.38

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·736.00/(736.00 − (−11.38)) = 29.92%

精确: NPV(29.92%) = 0 → IRR = 29.92%

答案

IRR = 29.92%

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