投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 8 年后需要 €40 000。某账户年利率 4.8%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0004.8% / 4n = 8

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。

P = €150 0003% / 12N = 300

A = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 5.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 6.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 12y₀ = 5.5%y₁ = 6.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，6 年后到期。到期收益率为 4%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 6YTM = 4%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €6 000 000，股权资本成本为 9%。其债务由 2 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 7 年），每张交易价格为 €973。税率为 28%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €6 000 000r_e = 9%债券: 2 000 × €973票面利率 = 6%n = 7T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€6 000, €8 000, €9 000, €7 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 8 000CF₃ = 9 000CF₄ = 7 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €23 000, €12 000, €24 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 23 000CF₂ = 12 000CF₃ = 24 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 27308 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·8 = 32

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.465 = €27 307.60

答案

PV = €27 307.60

2.货币的时间价值

答案: A = 711.3 €

月利率和还款期数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.4728

A = 150 000·0.0025/(1 − 0.4728) = €711.32

答案

A = €711.32

3.债券定价与收益率

答案: HPR = −2.473 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.055, N = 12

€45.00·(1 − 0.526)/0.055 + €1 000·0.526 = €387.83 + €525.98 = €913.81

卖出价

C = €45.00, i = 0.065, N = 11

€45.00·(1 − 0.5002)/0.065 + €1 000·0.5002 = €346.01 + €500.21 = €846.22

持有期收益率

HPR = (45 + 846.22 − 913.81)/913.81 = −2.473%

答案

HPR = −2.473%

4.债券定价与收益率

答案: D = 5.694 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 20/1.04 = 19.23, t·PV = 19.23

t = 2: 20/1.082 = 18.49, t·PV = 36.98

t = 3: 20/1.125 = 17.78, t·PV = 53.34

t = 4: 20/1.17 = 17.10, t·PV = 68.38

t = 5: 20/1.217 = 16.44, t·PV = 82.19

t = 6: 1020/1.265 = 806.12, t·PV = 4 836.72

久期

P = 895.16

D = 5 096.85/895.16 = 5.694

答案

D = 5.694 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.207 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667

WACC

WACC = 0.8333·8% + 0.1667·4.5%·(1 − 0.28) = 7.207%

答案

WACC = 7.207%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.941 %

债务成本 (YTM)

973 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 6.492%

市场价值

D = 2 000·€973 = €1 946 000

V = €7 946 000, E/V = 0.7551, D/V = 0.2449

WACC

WACC = 0.7551·9% + 0.2449·6.492%·(1 − 0.28) = 7.941%

答案

WACC = 7.941%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4147 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 6 000/1.09 = 5 504.59

CF₂/(1 + 0.09)² = 8 000/1.188 = 6 733.44

CF₃/(1 + 0.09)³ = 9 000/1.295 = 6 949.65

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 7 000/1.412 = 4 958.98

相加

NPV = €4 146.65

答案

NPV = €4 146.65

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 16.08 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

23 000·1.06² = 25 842.80

12 000·1.06¹ = 12 720.00

24 000·1.06⁰ = 24 000.00

TV = 62 562.80

MIRR

MIRR = (62 562.80/40 000)^1/3 − 1 = 16.08%

答案

MIRR = 16.08%

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