投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 3% 的利率连续复利投资 €5 000。求 16 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 3%t = 16

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 23 年内每月月末存入 €150。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1507.2% / 12N = 276

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 6 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）到期收益率为 8% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 7% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 6y₀ = 8%y₁ = 7%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €970，到期收益率为 6%（按年复利），麦考利久期为 10.4 年。如果收益率下降 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €970y = 6%D = 10.4Δy = −75 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.6 的股票要求回报为 3.7%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.6r_e = 3.7%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €57.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 4%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 4%r_m = 9.5%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€15 000, €11 000, €11 000, €17 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 11 000CF₃ = 11 000CF₄ = 17 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €35 500, €28 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 35 500CF₂ = 28 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 8080 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.03·16 = 0.48

e^0.48 = 1.616

终值

FV = 5 000·1.616 = €8 080.37

答案

FV = €8 080.37

2.货币的时间价值

答案: FV = 105311 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·23 = 276

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(5.212 − 1)/0.006 = €105 311.48

答案

FV = €105 311.48

你自己存入了 €41 400；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 12.19 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €70.00, i = 0.08, N = 6

€70.00·(1 − 0.6302)/0.08 + €1 000·0.6302 = €323.60 + €630.17 = €953.77

卖出价

C = €70.00, i = 0.07, N = 5

€70.00·(1 − 0.713)/0.07 + €1 000·0.713 = €287.01 + €712.99 = €1 000.00

持有期收益率

HPR = (70 + 1 000.00 − 953.77)/953.77 = 12.19%

答案

HPR = 12.19%

4.债券定价与收益率

答案: P = 1041 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 10.4/1.06 = 9.811

估计的价格变化

%ΔP ≈ −9.811·(−0.0075) = 7.358%

P ≈ 970·(1 + 0.07358) = €1 041.38

答案

P = €1 041.38

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 5.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (3.7% − 1%)/0.6 = 4.5%

市场回报

r_m = 1% + 4.5% = 5.5%

答案

r_m = 5.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.53 %

市场价值

E = 1 000 000·€57.00 = €57 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.3·5.5% = 11.15%

权重

V = €62 250 000, E/V = 0.9157, D/V = 0.08434

WACC

WACC = 0.9157·11.15% + 0.08434·5%·(1 − 0.25) = 10.53%

答案

WACC = 10.53%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 575 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 15 000/1.07 = 14 018.69

CF₂/(1 + 0.07)² = 11 000/1.145 = 9 607.83

CF₃/(1 + 0.07)³ = 11 000/1.225 = 8 979.28

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 17 000/1.311 = 12 969.22

相加

NPV = €575.01

答案

NPV = €575.01

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 18.93 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 2 419.66

NPV(20%) = −625.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·2 419.66/(2 419.66 − (−625.00)) = 18.97%

精确: NPV(18.93%) = 0 → IRR = 18.93%

答案

IRR = 18.93%

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