投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €1 500，共 8 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。

A = €1 500i = 8%n = 8

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 14 年内每月月末存入 €150。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1503% / 12N = 168

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 5.5%n = 6

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €920，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 11.9 年。如果收益率上升 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €920y = 5%D = 11.9Δy = +75 bp

P = €

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €4 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 9%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 4%。税率为 25.8%。求 WACC。

E = €4 000 000P_s = €1 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_p = 7%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €59.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 3.5%r_m = 8.5%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€33 000, €23 000, €35 000, €18 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 33 000CF₂ = 23 000CF₃ = 35 000CF₄ = 18 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一笔 €50 000 的投资在 10 年内每年年末回报 €6 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €50 000CF = €6 000n = 10

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 8620 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5403)/0.08 = 5.747

现值

PV = 1 500·5.747 = €8 619.96

答案

PV = €8 619.96

2.货币的时间价值

答案: FV = 31270 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·14 = 168

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1.521 − 1)/0.0025 = €31 269.84

答案

FV = €31 269.84

你自己存入了 €25 200；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 1076 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.0275, N = 12

票息的现值

€35.00·(1 − 0.7221)/0.0275 = €353.65

面值的现值

€1 000·0.7221 = €722.13

价格

P = €1 075.78

答案

P = €1 075.78

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: P = 841.8 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 11.9/1.05 = 11.33

估计的价格变化

%ΔP ≈ −11.33·(0.0075) = −8.5%

P ≈ 920·(1 − 0.085) = €841.80

答案

P = €841.80

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.488 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 4 000 000 + 1 000 000 + 3 000 000 = €8 000 000

E/V = 0.5, P_s/V = 0.125, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.5·9% + 0.125·7% + 0.375·4%·(1 − 0.258) = 6.488%

答案

WACC = 6.488%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.343 %

市场价值

E = 5 000 000·€59.00 = €295 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.8·5% = 7.5%

权重

V = €304 600 000, E/V = 0.9685, D/V = 0.03152

WACC

WACC = 0.9685·7.5% + 0.03152·3.5%·(1 − 0.28) = 7.343%

答案

WACC = 7.343%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 22333 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 33 000/1.05 = 31 428.57

CF₂/(1 + 0.05)² = 23 000/1.103 = 20 861.68

CF₃/(1 + 0.05)³ = 35 000/1.158 = 30 234.32

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 18 000/1.216 = 14 808.64

相加

NPV = €22 333.21

答案

NPV = €22 333.21

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 3.46 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 50 000/6 000 = 8.333

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 3%: 8.53

i = 4%: 8.111

IRR = 3.46%

答案

IRR = 3.46%

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