投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €500，共 4 年。年利率为 6%。求该年金的现值 PV。

A = €500i = 6%n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 29 年内每月月末存入 €500。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5002.4% / 12N = 348

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 8% 变为 8.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 9y₁ = 8%y₂ = 8.5%

ΔP = €

4.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 10 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 140。发行人可在 4 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 140赎回价格 = €1 090赎回时间 4 年

YTC = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €4 000 000，债务价值为 €2 000 000。其 WACC 为 6.58%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求股权资本成本 r_e。

E = €4 000 000D = €2 000 000WACC = 6.58%r_d = 5%T = 25%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €35.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 4%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 4%r_m = 9.5%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €400 000。它在第一年年末产生 €36 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €400 000CF₁ = €36 000g = 2%r = 12%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €13 500，之后每年增长 3%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €13 500g = 3%n = 9r = 8%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 1733 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.7921)/0.06 = 3.465

现值

PV = 500·3.465 = €1 732.55

答案

PV = €1 732.55

2.货币的时间价值

答案: FV = 251080 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·29 = 348

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2.004 − 1)/0.002 = €251 080.04

答案

FV = €251 080.04

你自己存入了 €174 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: ΔP = −26.12 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.08, N = 9

€45.00·(1 − 0.5002)/0.08 + €1 000·0.5002 = €281.11 + €500.25 = €781.36

按新收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.085, N = 9

€45.00·(1 − 0.4799)/0.085 + €1 000·0.4799 = €275.36 + €479.88 = €755.24

变化

ΔP = 755.24 − 781.36 = −€26.12

答案

ΔP = −€26.12

4.债券定价与收益率

答案: YTC = 6.906 %

收益率方程

1140 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1090/(1 + y)⁴

数值求解

y = 6%: €1 175.24

y = 7%: €1 136.40

YTC = 6.906%

答案

YTC = 6.906%

到期收益率为 7.006%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 7.995 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC 中的债务部分

0.3333·5%·(1 − 0.25) = 1.25%

股权成本

r_e = (6.58% − 1.25%)/0.6667 = 7.995%

答案

r_e = 7.995%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.148 %

市场价值

E = 2 500 000·€35.50 = €88 750 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.5·5.5% = 12.25%

权重

V = €129 550 000, E/V = 0.6851, D/V = 0.3149

WACC

WACC = 0.6851·12.25% + 0.3149·3%·(1 − 0.2) = 9.148%

答案

WACC = 9.148%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −40000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 36 000/(0.12 − 0.02) = 360 000.00

NPV

NPV = 360 000.00 − 400 000 = −€40 000.00

答案

NPV = −€40 000.00

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6232 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.08))⁹ = 0.6527

PV = 13 500/(0.08 − 0.03)·(1 − 0.6527) = 93 767.91

NPV

NPV = 93 767.91 − 100 000 = −€6 232.09

答案

NPV = −€6 232.09

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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