货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
投资与估值：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 5% 投资 €20 000，按月复利。求 4 年后的投资价值 FV。
PV = €20 0005% / 12n = 4
FV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 5.4% 的利率借入 €8 000，按月复利，每月月末偿还 €125。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €8 000A = €1255.4% / 12
N = 次还款
3.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 6%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 6%n = 10
P = €
4.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，6 年后到期。到期收益率为 2.5%。求麦考利久期 D，以年表示。
F = €1 000票面利率 = 7%n = 6YTM = 2.5%
D = 年
5.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。求 WACC。
E = €10 000 000D = €2 000 000re = 12%rd = 3.5%T = 21%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €8 000 000，股权资本成本为 13%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 7%，剩余期限 12 年），每张交易价格为 €925。税率为 25.8%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €8 000 000re = 13%债券: 5 000 × €925票面利率 = 7%n = 12T = 25.8%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €80 000。它在 5 年内每年年末产生 €16 000，之后可以以 €8 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
C0 = €80 000CF = €16 000S = €8 000n = 5r = 10%
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
一笔 €25 000 的投资在 3 年内每年年末回报 €10 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。
C0 = €25 000CF = €10 500n = 3
IRR = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 24418 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.05/12 = 0.004167
N = m·n = 12·4 = 48
终值
FV = 20 000·(1 + 0.004167)48 = 20 000·1.221 = €24 417.91
答案
FV = €24 417.91
2.货币的时间价值
答案: N = 76 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.0045
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0.0045/125 = 0.712
用对数求解
N = −ln(0.712)/ln(1.004) = 75.65
向上取整到整次还款
75 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 76
答案
N = 76 次还款
3.债券定价与收益率
答案: P = 702.5 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €10.00, i = 0.03, N = 20
票息的现值
€10.00·(1 − 0.5537)/0.03 = €148.77
面值的现值
€1 000·0.5537 = €553.68
价格
P = €702.45
答案
P = €702.45
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
4.债券定价与收益率
答案: D = 5.205 年
久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各笔现金流的现值
t = 1: 70/1.025 = 68.29, t·PV = 68.29
t = 2: 70/1.051 = 66.63, t·PV = 133.25
t = 3: 70/1.077 = 65.00, t·PV = 195.01
t = 4: 70/1.104 = 63.42, t·PV = 253.67
t = 5: 70/1.131 = 61.87, t·PV = 309.35
t = 6: 1070/1.16 = 922.66, t·PV = 5 535.95
久期
P = 1 247.87
D = 6 495.51/1 247.87 = 5.205
答案
D = 5.205 年
5.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.46 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €12 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667
WACC
WACC = 0.8333·12% + 0.1667·3.5%·(1 − 0.21) = 10.46%
答案
WACC = 10.46%
6.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.41 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
925 = 70·(1 − (1 + y)−12)/y + 1000/(1 + y)12
y = 7.995%
市场价值
D = 5 000·€925 = €4 625 000
V = €12 625 000, E/V = 0.6337, D/V = 0.3663
WACC
WACC = 0.6337·13% + 0.3663·7.995%·(1 − 0.258) = 10.41%
答案
WACC = 10.41%
7.NPV 与 IRR
答案: NPV = −14380 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
16 000·3.791 = 60 652.59
残值的现值
8 000/1.611 = 4 967.37
NPV
NPV = −80 000 + 60 652.59 + 4 967.37 = −€14 380.04
答案
NPV = −€14 380.04
8.NPV 与 IRR
答案: IRR = 12.51 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
所需的年金系数
(1 − (1 + i)−3)/i = 25 000/10 500 = 2.381
求利率
利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。
i = 12%: 2.402
i = 13%: 2.361
IRR = 12.51%
答案
IRR = 12.51%
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