投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 8% 的利率连续复利投资 €2 000。求 7 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 8%t = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 18 年内每月月末存入 €250。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2503.6% / 12N = 216

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 8%n = 10

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 5 年后到期，售价为 €905。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 5P = €905

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1。其股权资本成本为 11%，税前债务成本为 5%，税率为 21%。求 WACC。

D/E = 1r_e = 11%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €58.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 2.5%r_m = 7%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €400 000。它在第一年年末产生 €29 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

C₀ = €400 000CF₁ = €29 000g = 3%r = 9%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €17 500, €9 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 9 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 3501 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.08·7 = 0.56

e^0.56 = 1.751

终值

FV = 2 000·1.751 = €3 501.35

答案

FV = €3 501.35

2.货币的时间价值

答案: FV = 75822 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·18 = 216

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.91 − 1)/0.003 = €75 821.67

答案

FV = €75 821.67

你自己存入了 €54 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 864.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.04, N = 20

票息的现值

€30.00·(1 − 0.4564)/0.04 = €407.71

面值的现值

€1 000·0.4564 = €456.39

价格

P = €864.10

答案

P = €864.10

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.472 %

收益率方程

€905 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(9%) = €922.21, P(10%) = €886.28

YTM = 9.472%

答案

YTM = 9.472%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.475 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·11% + 0.5·5%·(1 − 0.21) = 7.475%

答案

WACC = 7.475%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.381 %

市场价值

E = 1 000 000·€58.50 = €58 500 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.6·4.5% = 5.2%

权重

V = €100 500 000, E/V = 0.5821, D/V = 0.4179

WACC

WACC = 0.5821·5.2% + 0.4179·4.5%·(1 − 0.28) = 4.381%

答案

WACC = 4.381%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 83333 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 29 000/(0.09 − 0.03) = 483 333.33

NPV

NPV = 483 333.33 − 400 000 = €83 333.33

答案

NPV = €83 333.33

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 5.887 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 283.45

NPV(10%) = −1 239.67

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·283.45/(283.45 − (−1 239.67)) = 5.93%

精确: NPV(5.887%) = 0 → IRR = 5.887%

答案

IRR = 5.887%

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