投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 10 年后需要 €40 000。某账户年利率 5%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0005% / 4n = 10

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的贷款在 20 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €150 0005.4% / 12N = 240

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 3.5%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 2.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 3YTM = 2.5%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 6%，税率为 30%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €47.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 1%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 1%r_m = 7.5%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在 4 年内每年年末回报 €21 500。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 500CF₂ = 21 500CF₃ = 21 500CF₄ = 21 500

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €13 000, €12 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 12 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 24337 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/4 = 0.0125

N = 4·10 = 40

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.644 = €24 336.53

答案

PV = €24 336.53

2.货币的时间价值

答案: A = 1023 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·20 = 240

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.3404

A = 150 000·0.0045/(1 − 0.3404) = €1 023.38

答案

A = €1 023.38

3.债券定价与收益率

答案: P = 1159 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.0175, N = 10

票息的现值

€35.00·(1 − 0.8407)/0.0175 = €318.54

面值的现值

€1 000·0.8407 = €840.73

价格

P = €1 159.27

答案

P = €1 159.27

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: D = 2.82 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 70/1.025 = 68.29, t·PV = 68.29

t = 2: 70/1.051 = 66.63, t·PV = 133.25

t = 3: 1070/1.077 = 993.60, t·PV = 2 980.80

久期

P = 1 128.52

D = 3 182.35/1 128.52 = 2.82

答案

D = 2.82 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.53 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667

WACC

WACC = 0.8333·13% + 0.1667·6%·(1 − 0.3) = 11.53%

答案

WACC = 11.53%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.555 %

市场价值

E = 1 000 000·€47.50 = €47 500 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.2·6.5% = 8.8%

权重

V = €68 500 000, E/V = 0.6934, D/V = 0.3066

WACC

WACC = 0.6934·8.8% + 0.3066·6%·(1 − 0.21) = 7.555%

答案

WACC = 7.555%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.612 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 21 500/1.12 = 19 196.43 → Σ = 19 196.43

年份 2: 21 500/1.254 = 17 139.67 → Σ = 36 336.10

年份 3: 21 500/1.405 = 15 303.28 → Σ = 51 639.37

年份 4: 21 500/1.574 = 13 663.64 → Σ = 65 303.01

最后一年的分数

DPB = 3 + 8 360.63/13 663.64 = 3.612

答案

DPB = 3.612 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.791 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 17.98 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 756.14

NPV(20%) = −486.11

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·756.14/(756.14 − (−486.11)) = 18.04%

精确: NPV(17.98%) = 0 → IRR = 17.98%

答案

IRR = 17.98%

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