投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 3% 的利率连续复利投资 €20 000。求 8 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 3%t = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 16 年内每月月末存入 €500。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5004.8% / 12N = 192

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 8 年的债券（面值 €1 000，年票息 2%）到期收益率为 8% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 7% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 8y₀ = 8%y₁ = 7%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，分两次半年支付，10 年后到期。其售价为 €1 429。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8% (2×)n = 10P = €1 429

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 3%，税率为 28%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 12%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.6。它计划采用 1.5 的负债权益比。税率为 28%，无风险利率为 4%，市场风险溢价为 4.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.6D/E = 1.5T = 28%r_f = 4%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €19 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €19 000g = 1%r = 8%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €18 000, €24 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 24 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 25425 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.03·8 = 0.24

e^0.24 = 1.271

终值

FV = 20 000·1.271 = €25 424.98

答案

FV = €25 424.98

2.货币的时间价值

答案: FV = 144019 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·16 = 192

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2.152 − 1)/0.004 = €144 018.95

答案

FV = €144 018.95

你自己存入了 €96 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 14.55 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €20.00, i = 0.08, N = 8

€20.00·(1 − 0.5403)/0.08 + €1 000·0.5403 = €114.93 + €540.27 = €655.20

卖出价

C = €20.00, i = 0.07, N = 7

€20.00·(1 − 0.6227)/0.07 + €1 000·0.6227 = €107.79 + €622.75 = €730.54

持有期收益率

HPR = (20 + 730.54 − 655.20)/655.20 = 14.55%

答案

HPR = 14.55%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.002 %

每期

C = €40.00, N = 20

数值求解

i = 1.501% 每半年

YTM

YTM = 2·1.501% = 3.002%

答案

YTM = 3.002%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.971 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143

WACC

WACC = 0.2857·12% + 0.7143·3%·(1 − 0.28) = 4.971%

答案

WACC = 4.971%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.616 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.6·(1 + 0.72·1.5) = 1.248

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.248·4.5% = 9.616%

答案

r_e = 9.616%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 21429 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 19 000/(0.08 − 0.01) = 271 428.57

NPV

NPV = 271 428.57 − 250 000 = €21 428.57

答案

NPV = €21 428.57

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 3.932 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(0%) = 2 500.00

NPV(5%) = −634.92

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 0 + 5·2 500.00/(2 500.00 − (−634.92)) = 3.987%

精确: NPV(3.932%) = 0 → IRR = 3.932%

答案

IRR = 3.932%

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