投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 5% 投资 €1 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0005% / 12n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 11 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 4.2%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €100 0004.2% / 12N = 132

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 3.5%n = 8

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 060。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 3P = €1 060

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.75。其股权资本成本为 9%，税前债务成本为 7%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 0.75r_e = 9%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1.2。它计划采用 0.5 的负债权益比。税率为 25.8%，无风险利率为 4%，市场风险溢价为 6%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1.2D/E = 0.5T = 25.8%r_f = 4%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000，使用 6 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €40 000M = €4 000n = 6r = 8%

EAC = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €35 500, €36 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 35 500CF₂ = 36 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1567 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.05/12 = 0.004167

N = m·n = 12·9 = 108

终值

FV = 1 000·(1 + 0.004167)¹⁰⁸ = 1 000·1.567 = €1 566.85

答案

FV = €1 566.85

2.货币的时间价值

答案: A = 597.3 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·11 = 132

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.0035/(1.586 − 1) = €597.30

答案

A = €597.30

3.债券定价与收益率

答案: P = 1312 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.0175, N = 16

票息的现值

€40.00·(1 − 0.7576)/0.0175 = €554.02

面值的现值

€1 000·0.7576 = €757.62

价格

P = €1 311.64

答案

P = €1 311.64

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 0.9614 %

收益率方程

€1 060 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(1%) = €1 058.82, P(1%) = €1 058.82

YTM = 0.9614%

答案

YTM = 0.9614%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.543 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714

D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·9% + 0.4286·7%·(1 − 0.2) = 7.543%

答案

WACC = 7.543%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 13.87 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1.2·(1 + 0.742·0.5) = 1.645

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.645·6% = 13.87%

答案

r_e = 13.87%

7.NPV 与 IRR

答案: EAC = 12653 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁶)/0.08 = 4.623

年化购置价格

40 000/4.623 = 8 652.62

EAC

EAC = 8 652.62 + 4 000 = €12 652.62

答案

EAC = €12 652.62

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 28.02 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 1 760.00

NPV(30%) = −1 094.67

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·1 760.00/(1 760.00 − (−1 094.67)) = 28.08%

精确: NPV(28.02%) = 0 → IRR = 28.02%

答案

IRR = 28.02%

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