投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 5% 投资 €12 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0005% / 12n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 6 年内每月月末存入 €500。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5007.2% / 12N = 72

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，4 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 3.5%n = 4

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 2.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 5YTM = 2.5%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 7%，税率为 28%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 1.5。税率为 30%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 7%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.4D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1.5T = 30%r_f = 3%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €16 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €16 000g = 1%r = 8%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €7 000, €4 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 4 000

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 18802 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.05/12 = 0.004167

N = m·n = 12·9 = 108

终值

FV = 12 000·(1 + 0.004167)¹⁰⁸ = 12 000·1.567 = €18 802.16

答案

FV = €18 802.16

2.货币的时间价值

答案: FV = 44862 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·6 = 72

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1.538 − 1)/0.006 = €44 862.34

答案

FV = €44 862.34

你自己存入了 €36 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 1130 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.0175, N = 8

票息的现值

€35.00·(1 − 0.8704)/0.0175 = €259.18

面值的现值

€1 000·0.8704 = €870.41

价格

P = €1 129.59

答案

P = €1 129.59

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: D = 4.644 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 40/1.025 = 39.02, t·PV = 39.02

t = 2: 40/1.051 = 38.07, t·PV = 76.15

t = 3: 40/1.077 = 37.14, t·PV = 111.43

t = 4: 40/1.104 = 36.24, t·PV = 144.95

t = 5: 1040/1.131 = 919.21, t·PV = 4 596.04

久期

P = 1 069.69

D = 4 967.60/1 069.69 = 4.644

答案

D = 4.644 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.1 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727

WACC

WACC = 0.7273·12% + 0.2727·7%·(1 − 0.28) = 10.1%

答案

WACC = 10.1%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 18.7 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.4/(1 + 0.7·0.4) = 1.094

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.094·(1 + 0.7·1.5) = 2.242

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 2.242·7% = 18.7%

答案

r_e = 18.7%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −21429 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 16 000/(0.08 − 0.01) = 228 571.43

NPV

NPV = 228 571.43 − 250 000 = −€21 428.57

答案

NPV = −€21 428.57

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 7.284 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 294.78

NPV(10%) = −330.58

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·294.78/(294.78 − (−330.58)) = 7.357%

精确: NPV(7.284%) = 0 → IRR = 7.284%

答案

IRR = 7.284%

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