投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123456PV = ?€50 000

你在 6 年后需要 €50 000。某账户年利率 5%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0005% / 12n = 6
PV = €
2.货币的时间价值困难
月01…24…360€300 000AB = ?A3.6% / 12

一笔 €300 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在第 2 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €300 0003.6% / 12N = 360k = 24
B = €
3.债券定价与收益率中等
半年0123…22€30€30€30 + €1 000P = ?

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 9%。 求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 9%n = 11
P = €
4.债券定价与收益率困难
年0123456€890€70€70 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 6 年后到期，售价为 €890。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 6P = €890
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?所有者权益Ere​ = 9%债务D = 0.4·Erd​ = 5%T = 25%

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.4。其股权资本成本为 9%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.4re = 9%rd = 5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益1 000 000 × €49.50β = 1.1rf​ = 4%, rm​ = 8%债务5 000 × €960rd​ = 3.5%T = 30%

某公司有1 000 000 股、每股 €49.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 4%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.1rf = 4%rm = 8%rd = 3.5%T = 30%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
年0123−30 00012 00011 00013 000

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€12 000, €11 000, €13 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF0 = −30 000CF1 = 12 000CF2 = 11 000CF3 = 13 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123−50 00022 00017 50026 000

一个项目需投入 €50 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €22 000, €17 500, €26 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF0 = −50 000CF1 = 22 000CF2 = 17 500CF3 = 26 000
MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 37064 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/12 = 0.004167
N = 12·6 = 72

现值

PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.349 = €37 064.00

答案

PV = €37 064.00
2.货币的时间价值

答案: B = 288473 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.003, N = 360
A = 300 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)−360) = €1 363.94

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 24 = 336
B = 1364·(1 − (1 + 0.003)−336)/0.003 = €288 472.81

答案

B = €288 472.81
3.债券定价与收益率

答案: P = 793.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.045, N = 22

票息的现值

€30.00·(1 − 0.3797)/0.045 = €413.53

面值的现值

€1 000·0.3797 = €379.70

价格

P = €793.23

答案

P = €793.23

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.488 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(9%) = €910.28, P(10%) = €869.34
YTM = 9.488%

答案

YTM = 9.488%
5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143
D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·9% + 0.2857·5%·(1 − 0.25) = 7.5%

答案

WACC = 7.5%
6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.874 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场价值

E = 1 000 000·€49.50 = €49 500 000
D = 5 000·€960 = €4 800 000

股权成本（CAPM）

re = 4% + 1.1·4% = 8.4%

权重

V = €54 300 000, E/V = 0.9116, D/V = 0.0884

WACC

WACC = 0.9116·8.4% + 0.0884·3.5%·(1 − 0.3) = 7.874%

答案

WACC = 7.874%
7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 306 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 12 000/1.09 = 11 009.17
CF2/(1 + 0.09)2 = 11 000/1.188 = 9 258.48
CF3/(1 + 0.09)3 = 13 000/1.295 = 10 038.39

相加

NPV = €306.04

答案

NPV = €306.04

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 11.48 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

22 000·1.062 = 24 719.20
17 500·1.061 = 18 550.00
26 000·1.060 = 26 000.00
TV = 69 269.20

MIRR

MIRR = (69 269.20/50 000)1/3 − 1 = 11.48%

答案

MIRR = 11.48%

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