投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €3 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0003.6% / 12n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 11 年内每月月末存入 €250。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2503.6% / 12N = 132

FV = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，4 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 5.5%n = 4

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，分两次半年支付，7 年后到期。其售价为 €1 125。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5% (2×)n = 7P = €1 125

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.9 的股票要求回报为 5.95%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.9r_e = 5.95%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €12.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 4%，市场回报率为 11%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 4%r_m = 11%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€12 000, €12 000, €11 000, €10 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 000CF₃ = 11 000CF₄ = 10 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €24 500，之后每年增长 5%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €24 500g = 5%n = 9r = 12%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 4000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·8 = 96

终值

FV = 3 000·(1 + 0.003)⁹⁶ = 3 000·1.333 = €3 999.55

答案

FV = €3 999.55

2.货币的时间价值

答案: FV = 40416 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·11 = 132

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.485 − 1)/0.003 = €40 415.73

答案

FV = €40 415.73

你自己存入了 €33 000；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: P = 875.8 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.0275, N = 8

票息的现值

€10.00·(1 − 0.8049)/0.0275 = €70.94

面值的现值

€1 000·0.8049 = €804.91

价格

P = €875.85

答案

P = €875.85

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.006 %

每期

C = €25.00, N = 14

数值求解

i = 1.503% 每半年

YTM

YTM = 2·1.503% = 3.006%

答案

YTM = 3.006%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 6.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (5.95% − 1%)/0.9 = 5.5%

市场回报

r_m = 1% + 5.5% = 6.5%

答案

r_m = 6.5%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.1 %

市场价值

E = 2 000 000·€12.00 = €24 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.3·7% = 13.1%

权重

V = €66 000 000, E/V = 0.3636, D/V = 0.6364

WACC

WACC = 0.3636·13.1% + 0.6364·3%·(1 − 0.3) = 6.1%

答案

WACC = 6.1%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6696 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 12 000/1.07 = 11 214.95

CF₂/(1 + 0.07)² = 12 000/1.145 = 10 481.26

CF₃/(1 + 0.07)³ = 11 000/1.225 = 8 979.28

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 10 000/1.311 = 7 628.95

相加

NPV = €−6 695.55

答案

NPV = €−6 695.55

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −45799 €

增长型年金的现值

((1.05)/(1.12))⁹ = 0.5594

PV = 24 500/(0.12 − 0.05)·(1 − 0.5594) = 154 201.42

NPV

NPV = 154 201.42 − 200 000 = −€45 798.58

答案

NPV = −€45 798.58

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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