投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €8 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0003.6% / 12n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €15 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €15 0007.2% / 12N = 48

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 3%n = 12

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，6 年后到期。到期收益率为 7%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 6YTM = 7%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 9%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €13.00；其股权账面价值为 €3 900 000。公司刚支付了每股 €0.90 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €6 500 000，税前成本为 4%。税率为 25%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 1 000 000P₀ = €13.00股权账面价值 = €3 900 000D₀ = €0.90g = 5%D = €6 500 000r_d = 4%T = 25%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €18 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €18 000g = 2%r = 10%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €15 000，之后每年增长 2%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €15 000g = 2%n = 6r = 12%

NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 11056 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·9 = 108

终值

FV = 8 000·(1 + 0.003)¹⁰⁸ = 8 000·1.382 = €11 055.81

答案

FV = €11 055.81

2.货币的时间价值

答案: A = 360.6 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.7504

A = 15 000·0.006/(1 − 0.7504) = €360.59

答案

A = €360.59

3.债券定价与收益率

答案: P = 1401 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.015, N = 24

票息的现值

€35.00·(1 − 0.6995)/0.015 = €701.06

面值的现值

€1 000·0.6995 = €699.54

价格

P = €1 400.61

答案

P = €1 400.61

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

4.债券定价与收益率

答案: D = 5.19 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 60/1.07 = 56.07, t·PV = 56.07

t = 2: 60/1.145 = 52.41, t·PV = 104.81

t = 3: 60/1.225 = 48.98, t·PV = 146.93

t = 4: 60/1.311 = 45.77, t·PV = 183.09

t = 5: 60/1.403 = 42.78, t·PV = 213.90

t = 6: 1060/1.501 = 706.32, t·PV = 4 237.94

久期

P = 952.33

D = 4 942.75/952.33 = 5.19

答案

D = 5.19 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.088 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.25, D/V = 0.75

WACC

WACC = 0.25·9% + 0.75·3.5%·(1 − 0.3) = 4.088%

答案

WACC = 4.088%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.179 %

股权成本

D₁ = 0.9·1.05 = €0.95

r_e = 0.945/13 + 0.05 = 12.27%

市场价值

E = 1 000 000·€13.00 = €13 000 000

V = €19 500 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·12.27% + 0.3333·4%·(1 − 0.25) = 9.179%

答案

WACC = 9.179%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −25000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 18 000/(0.1 − 0.02) = 225 000.00

NPV

NPV = 225 000.00 − 250 000 = −€25 000.00

答案

NPV = −€25 000.00

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −35582 €

增长型年金的现值

((1.02)/(1.12))⁶ = 0.5705

PV = 15 000/(0.12 − 0.02)·(1 − 0.5705) = 64 417.66

NPV

NPV = 64 417.66 − 100 000 = −€35 582.34

答案

NPV = −€35 582.34

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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