投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €2 000，按月复利。求 2 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0003% / 12n = 2

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 4.2%，按月复利。在第 11 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €150 0004.2% / 12N = 240k = 132

B = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 7%n = 12

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，6 年后到期。到期收益率为 2.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 6YTM = 2.5%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €1 000 000r_e = 9%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.5 下的贝塔为 0.9。公司计划把负债权益比提高到 0.6。税率为 25.8%，无风险利率为 3.5%，市场风险溢价为 5.5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 0.9D/E₁ = 0.5D/E₂ = 0.6T = 25.8%r_f = 3.5%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

7.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000。它在 4 年内每年年末产生 €11 500，之后可以以 €8 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €40 000CF = €11 500S = €8 000n = 4r = 6%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 3 年内每年年末回报 €8 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €8 500n = 3

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2124 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025

N = m·n = 12·2 = 24

终值

FV = 2 000·(1 + 0.0025)²⁴ = 2 000·1.062 = €2 123.51

答案

FV = €2 123.51

2.货币的时间价值

答案: B = 83057 €

月供

i = 0.0035, N = 240

A = 150 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)⁻²⁴⁰) = €924.86

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 132 = 108

B = 924.9·(1 − (1 + 0.0035)⁻¹⁰⁸)/0.0035 = €83 056.60

答案

B = €83 056.60

3.债券定价与收益率

答案: P = 839.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.035, N = 24

票息的现值

€25.00·(1 − 0.438)/0.035 = €401.46

面值的现值

€1 000·0.438 = €437.96

价格

P = €839.42

答案

P = €839.42

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: D = 5.287 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 60/1.025 = 58.54, t·PV = 58.54

t = 2: 60/1.051 = 57.11, t·PV = 114.22

t = 3: 60/1.077 = 55.72, t·PV = 167.15

t = 4: 60/1.104 = 54.36, t·PV = 217.43

t = 5: 60/1.131 = 53.03, t·PV = 265.16

t = 6: 1060/1.16 = 914.03, t·PV = 5 484.21

久期

P = 1 192.78

D = 6 306.69/1 192.78 = 5.287

答案

D = 5.287 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.143 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC

WACC = 0.8571·9% + 0.1429·4%·(1 − 0.25) = 8.143%

答案

WACC = 8.143%

6.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.718 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 0.9/(1 + 0.742·0.5) = 0.6565

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.6565·(1 + 0.742·0.6) = 0.9487

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.9487·5.5% = 8.718%

答案

r_e = 8.718%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 6185 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

11 500·3.465 = 39 848.71

残值的现值

8 000/1.262 = 6 336.75

NPV

NPV = −40 000 + 39 848.71 + 6 336.75 = €6 185.46

答案

NPV = €6 185.46

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 13.21 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 20 000/8 500 = 2.353

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 13%: 2.361

i = 14%: 2.322

IRR = 13.21%

答案

IRR = 13.21%

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