投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 16%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 16%m = 2

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你希望在 4 年后得到 €20 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €20 0006% / 12N = 48

A = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 8%n = 6

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 2.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 4YTM = 2.5%

D = 年

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €59.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 3.5%r_m = 8%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在 4 年内每年年末回报 €20 000。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 20 000CF₂ = 20 000CF₃ = 20 000CF₄ = 20 000

DPB = 年

8.NPV 与 IRR困难

一笔 €25 000 的投资在 8 年内每年年末回报 €5 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €25 000CF = €5 500n = 8

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 16.64 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.16/2 = 0.08

复利一年

EAR = (1 + 0.08)² − 1 = 1.166 − 1 = 16.64%

答案

EAR = 16.64%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 369.7 €

月利率和存款次数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·4 = 48

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0.005/(1.27 − 1) = €369.70

答案

A = €369.70

3.债券定价与收益率

答案: P = 953.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.04, N = 12

票息的现值

€35.00·(1 − 0.6246)/0.04 = €328.48

面值的现值

€1 000·0.6246 = €624.60

价格

P = €953.07

答案

P = €953.07

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: D = 3.759 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 45/1.025 = 43.90, t·PV = 43.90

t = 2: 45/1.051 = 42.83, t·PV = 85.66

t = 3: 45/1.077 = 41.79, t·PV = 125.36

t = 4: 1045/1.104 = 946.72, t·PV = 3 786.87

久期

P = 1 075.24

D = 4 041.80/1 075.24 = 3.759

答案

D = 3.759 年

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.533 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €18 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·8% + 0.3333·4.5%·(1 − 0.2) = 6.533%

答案

WACC = 6.533%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.11 %

市场价值

E = 4 000 000·€59.50 = €238 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.5·4.5% = 10.25%

权重

V = €243 100 000, E/V = 0.979, D/V = 0.02098

WACC

WACC = 0.979·10.25% + 0.02098·5%·(1 − 0.258) = 10.11%

答案

WACC = 10.11%

7.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.575 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 20 000/1.08 = 18 518.52 → Σ = 18 518.52

年份 2: 20 000/1.166 = 17 146.78 → Σ = 35 665.29

年份 3: 20 000/1.26 = 15 876.64 → Σ = 51 541.94

年份 4: 20 000/1.36 = 14 700.60 → Σ = 66 242.54

最后一年的分数

DPB = 3 + 8 458.06/14 700.60 = 3.575

答案

DPB = 3.575 年

折现回收期总是长于简单回收期（3 年）。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 14.61 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 25 000/5 500 = 4.545

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 14%: 4.639

i = 15%: 4.487

IRR = 14.61%

答案

IRR = 14.61%

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